第二章低维系统的量子方程 S2.1态密度 S2.1.1一维无限深方势阱 0 图2.11一维无限深方势阱 薛定谔方程， _h8v.+V(:W.-E.v. 2m02 (2.1.0 e-合0g 其它 (2.12) 解为， ,兵 (2.1.3) 本征态：4：=√层sm晋) (2.14) $2.1.2平面内运动 电子在平面内自由运动，在：方向受到约束，如上面的无限深势阱，薛定谔方程可写 为
43 第二章 低维系统的量子方程 §2.1 态密度 §2.1.1 一维无限深方势阱 图 2.1.1 一维无限深方势阱 薛定谔方程， z z z z V z E m z + = − ( ) 2 2 2 2 (2.1.1) = 其它 z a V z 0 0 ( ) (2.1.2) 解为， 本征值： 2 2 2 2 2ma n Ez = (2.1.3) 本征态： sin( ) 2 z a n z a = (2.1.4) §2.1.2 平面内运动 电子在平面内自由运动，在 z 方向受到约束，如上面的无限深势阱，薛定谔方程可写 为
2m dy2 (2.1.5) 方2a2w 2m+Pew,=E, 解为 本征值：B=么+E,+E=光+x沉 2m 2ma (21.6) 本征态：(xy)=少， (2.17) 2.13态密度 定义A自-器 三#自由电，以国- (2.1.8 对于量子阱中的二维电子气，对应每条子能级（即E。),电子在xy平面内自由运动， 其能量是连续分布的。二维平面内的电子态密度则为， p2(E)=亦 (2.1.9) 如果有许多禁闭态(n),那么，p2”是对该能级下的所有次能级求和，即， p“0-2票E-) (2.1.10) 20nm厚度的GaAs量子阱，具有无限高势垒下的的态密度如下图所示
44 + = − = − = − z z z z y y y x x x V z E m z E m y E m x ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2.1.5) 解为， 本征值： 2 2 2 2 2 , 2 2 2ma n m k E E E E x y x y z = + + = + (2.1.6) 本征态： x y z (x, y,z) = (2.1.7) §2.1.3 态密度 定义： dE dN (E) = 三维自由电子： 1/ 2 3 / 2 2 2 2 2 1 ( ) E m dE dk dk dN E = = (2.1.8) 对于量子阱中的二维电子气，对应每条子能级（即 En ），电子在 xy 平面内自由运动， 其能量是连续分布的。二维平面内的电子态密度则为， 2 2 ( ) m E D = (2.1.9) 如果有许多禁闭态（ n ），那么， 2D 是对该能级下的所有次能级求和，即， ( ) ( ) 2 1 2 i n i D E E m E = − = (2.1.10) 20nm 厚度的 GaAs 量子阱，具有无限高势垒下的的态密度如下图所示
p2(J-1m2) 4E+36 2E+36 40 80120160 E(meV) 图2.1.1GaAs量子阱态密度 $2.1.4子带占据数 绝对零度下，电子从最低子带能级开始逐一向上占据，一直达到最高占据能级，即费 米能级E。有限温度下，每个子带上的电子总数由电子占据几率与态密度乘积给出， N。=JfE)pEd (2.1.11) 其中f(E)=nna: $2.1.5有限深量子阱 设量子阱深度为有限'。，阱宽为a, Va H>a12 (2.1.12) 通过求解薛定谔方程(2.1.1)，可得到本征值和本征态 (a)偶宇称解： Ae =≤-a/2 本征态：()=cosk: -a/2≤：≤a/2 (2.113 Fe- z2a/2 本征值：a=k tan(ka/2)A=F=em2cos(ka/2)
45 图 2.1.1 GaAs 量子阱态密度 §2.1.4 子带占据数 绝对零度下，电子从最低子带能级开始逐一向上占据，一直达到最高占据能级，即费 米能级 EF 。有限温度下，每个子带上的电子总数由电子占据几率与态密度乘积给出， = subbands Ne f (E)(E)dE (2.1.11) 其中 1 1 ( ) ( ) / + = E−EF kBT e f E 。 §2.1.5 有限深量子阱 设量子阱深度为有限 V0 ，阱宽为 a ， = / 2 0 / 2 ( ) V0 z a z a V z (2.1.12) 通过求解薛定谔方程(2.1.1)，可得到本征值和本征态， (a)偶宇称解： 本征态： − − = − / 2 cos / 2 / 2 / 2 ( ) Fe z a k z a z a Ae z a z z z (2.1.13) 本征值： = k tan( ka/ 2) cos( / 2) / 2 A F e ka a = =
(a)奇宇称解： Ae :s-a/2 本征态：w(e)={Dsin k: (2.1.14 Fe-e -≤-a/2 本征值：a=kctg(ka/2) 其中，k:-2mE,心-2m%-且，系数由边界条件和归一化条件确定。前三条能级和 2 2 相应的电子态如图212所示。 图212@无限深方势 图2.12)有限深方势阱(m=0.067m.,'=100meV) $2.2变质量问题 异质结两边的半导体材料性质上存在差异，这是异质结具有独特性质的重要根源。这 些差异包括：带隙，介电常数，晶格常数，有效质量。 对于有效质量m。,m。不匹配情况，边界条件要求下面两个量是连续的， w(e): 是e 称为Ben Daniel-Duke边界条件
46 (a)奇宇称解： 本征态： − − − = − / 2 sin / 2 / 2 / 2 ( ) Fe z a D k z a z a Ae z a z z z (2.1.14) 本征值： = kctg(ka/ 2) 其中， 2 2 2 mE k = ， 2 2 0 2 ( ) m V − E = ，系数由边界条件和归一化条件确定。前三条能级和 相应的电子态如图 2.1.2 所示。 图 2.1.2(a)无限深方势阱 图 2.1.2(b) 有限深方势阱（ m 0.067me ,V 100meV * = = ） §2.2 变质量问题 异质结两边的半导体材料性质上存在差异，这是异质结具有独特性质的重要根源。这 些差异包括：带隙，介电常数，晶格常数，有效质量。 对于有效质量 * * , ma mb 不匹配情况，边界条件要求下面两个量是连续的， (z) ； ( ) 1 * z m z 称为 Ben Daniel-Duke 边界条件
$2.2.1无限高势垒和质量极限情况 固定势阱宽度，改变G6Alo4As的势垒高度，发现随着势垒高度的增加，能级上升。 结果如图2.2.1所示 E1(mev) 60 50 30 V(mev) 20 00 100010000100000 图22.1固定GaAs阱宽10nm,基态能级随金高的变化。粗实线为质量一样的结果(m。=m,), 虚粗线为质量不一样的结果(m。=10m)。水平虚线为V→0的结果。 如果其他参数不变，改变垒内电子有效质量m,计算得到的基态能量将随m的增加 而减小。结果如图2.2.2所示。当m→0，有E=0。 E(mev) 50日 % 30 10 01 101001000 图222基态能级随垒内电子有效质量的变化结果
47 §2.2.1 无限高势垒和质量极限情况 固定势阱宽度，改变 Ga0.6Al0.4As 的势垒高度，发现随着势垒高度的增加，能级上升。 结果如图 2.2.1 所示。 图 2.2.1 固定 GaAs 阱宽 10nm，基态能级随垒高的变化。粗实线为质量一样的结果（ * * ma = mb ）， 虚粗线为质量不一样的结果（ * * ma = 10mb ）。水平虚线为 V → 的结果。 如果其他参数不变，改变垒内电子有效质量 * mb ，计算得到的基态能量将随 * mb 的增加 而减小。结果如图 2.2.2 所示。当 → * mb ，有 E1 = 0。 图 2.2.2 基态能级随垒内电子有效质量的变化结果