a=arecos(2）=60~ 由上述可见，对bcc和fcc点阵，我们都可以选取一组大小相等 且彼此的夹角也相等的初基矢量.对bc℃点阵，这个夹角是 are cos(司》对ce点阵，这个夹角是60 1.2具有笛卡尔坐标(n1,n2,”)的所有点形成什么样的布喇 菲点阵？如果 (a),或全为奇数，或全为偶数， (⑦)要求∑，为隅数， [解] (a)若：(i=1,2,3)全为偶数，则点阵失量R可以写为 R=(2l,2m,2n) 这里1，m,n为整数，于是有 R=l(2*)+m(2)+n(2)=la1+ma2+nas a1=a2=as=2 显然由R定义的是一个点阵常数为2的sC点阵。 若：全为奇数，则点阵失量为 R=(21+1)x+(2m+1)y+(2+1)2 =(2全)+m(2夕)+n(2)+(年+夕+) 由R所定义的也是一个点阵常数为2的$C点阵，但相对于上面~ 一个$C点阵位移了一个失量（￥+y+常），这个点正好位于体心 位置上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故(n1, 2,3)或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵， (b)若∑☐： ·12
(:+n2+%3)=2N 为偶数，这里N是整数，于是点阵矢量为 R=1。+n2y+(2N-81-2)2 =n1￥+n2夕+[(N-n)+(N-2)]全 l=N一1，m=V-2 则有 R=(N-1)x+(N-m)y+(亿+m)会 又令 %=V一1-m,n仍为整数， 划有 R=(n+m)￥+(n+)夕+(《+n)2 R=n(x+y)il(y+z)+m(rx) 由子fcc点阵的点阵矢量是 R=合：（全+少）+会n,(5+金)+受，（在金） 可见上述R定义的是一个点阵常数a=2的fcc点阵， 1.3,六角密堆积结构(4)证明理想的六角密堆积结构 (hcp)的轴比c/a是(8/3)2=1.633，(b)钠在23K附近从bcc 结构转变为cp结构（马氏体相变），假如在此相变过程中保持密 度不变，求hcp相的点阵常数a,已知bcc相的点阵常数是 4.23A,且hcp相的c/a比值与理想值相同. [解手 (a)在图1.11中，ABCD是六角密推积结构初基晶胞的菱 形底面，AD=4B=a.第二层球的球心F正对着E点，同时和球 心在A、B、D的三个球相切. ·3·
43 图1,11六角密堆积结构初基品胞的菱形底面 A8=若4G=号经。分 故 FB=(合)=V昏a 且有 台-2y5-1.633 ()设钠在bcc相的点阵常数为a',初基晶胞体积为P。= 子a.在hcp相，初基晶胞体积为 v.-ae sin 6o-ay)(12)-v2a 由相变过程中密度不变，得 因为bcc相的每个初基晶胞中包含一个钠原子，而hcp相的每个 ·14
初基品胞中包含两个钠原子. 将Ψ。和V:代入上式，得 品a 2 a=(2)6a'≈3.77A 所以 hcp相的点阵常数a=3.77A,c=6.16A. 1.4晶体结构的堆积比率在sc,bcc和fcc结构中，fcc是 原子排列最密积的，sC是最稀疏的，它门的配位数分别是f©c 12,bcc一8；sc一6；而金刚石结构比简立方绍构达要稀疏， 配位数是4.如果把同样的硬球放置在这些结构原子所在的位置 上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球正好接触，但彼此 并不重迭。我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体！之比 定义为结构的堆积比率（又叫最大空间利用率），试证明以上四种“ 结构的堆积比率是 fce2=0.74 6 bec,x=0.68 s0:日=0.52 金别石：得=64 [证明] 令2表示一个立方晶胞中的硬球数，Y:是位于品胞内的球 数，N,是在晶胞面上的球数，N。是在品胞棱上的球数，N。是在 ·15
晶胞角隅上的球数.于是有 z=N+是N,+子N。+骨N。 边长为（的立方晶胞中堆积比率为 F=Z×告r 对于fcc, Z=4ayV2=4rF=0.74 对于bcc, Z=2aV3=4rF=0.68 对于sC, Z=1a=2rF=0.52 a=2r 金刚石 aj3=8r 图1.128c,bcc,fcc,金刚石结构r和a的关系因 ·16