传染病模型
传染病模型
本节我们试图建立关于传染病的传播过程的数学模型大 家对2003年春的SAAS依然铭刻于心因为它给我们国家带 来了非常巨大的损失,一度情形非常危急另外,象爱滋病肺 结核,传染性肝炎等传染病也极大地危害着人们的生命财 产安全 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点弄清这 些特点需要许多的病理知识这不是我们在这里探讨的我们 是按照一般的传播机理建立一些模型先从简单模型起. 模型1设时刻的病人人数x(是连续函数而且可导并且每 个病人每天有效接触(足以使人致病的接触的人数为常数不 考虑传染期内的死亡等因此在时间到4的时段内病人的增 加数为 x(t+At)-x(t)=Ax(t),从而模型为 =ux(t),x(t0)=x0 dt 其解为x(t)=xe A(-t0)
本节我们试图建立关于传染病的传播过程的数学模型.大 家对2003年春的SAAS依然铭刻于心,因为它给我们国家带 来了非常巨大的损失,一度情形非常危急.另外,象爱滋病,肺 结核,传染性肝炎等传染病也极大地危害着人们的生命财 产安全. 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这 些特点需要许多的病理知识,这不是我们在这里探讨的.我们 是按照一般的传播机理建立一些模型.先从简单模型起. 模型1 设时刻t的病人人数x(t)是连续函数而且可导,并且每 个病人每天有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数λ,不 考虑传染期内的死亡等.因此在时间t到t+Δt的时段内病人的增 加数为 x(t + t) − x(t) = x(t)t,从而模型为 ( ), ( ) . 0 x0 x t x t dt dx = = ( ) 0 0 ( ) t t x t x e − = 其解为
模型评价:由于随着时间t的增加,病人人数无限增长,与实际 不符,需改进 模型2(S模型)假设条件为 1在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑人口的 流动将人群分为易感染者( Susceptible和已感染者( Infective) 两类以下简称为健康者和病人在时刻这两类人占总人数的比 例分别为s()和i(,s()+i()=1. 2每个病人每天有效接触的平均人数为常数为入称为日接触 率当病人与健康者进行了有效接触时,健康者变为病人 根据假设每个病人每天接触个人,其中健康者入()个,他 们变成病人,因此每天有Ni(O·^s()个健康者变成病人,从而 N=ANi=AN(1-i),因此模型为 ni(1-i),i(0)=io 这个模型称为 Logistic模型,其解为i(t)=
模型评价:由于随着时间t的增加,病人人数无限增长,与实际 不符,需改进. 模型2(SI模型) 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑人口的 流动.将人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective) 两类,以下简称为健康者和病人.在时刻t这两类人占总人数的比 例分别为s(t)和i(t). s(t)+i(t)=1. 2.每个病人每天有效接触的平均人数为常数为λ,称 λ为日接触 率.当病人与健康者进行了有效接触时,健康者变为病人. 根据假设,每个病人每天接触λ个人,其中健康者λs(t)个,他 们变成病人,因此每天有 Ni(t)• λs(t)个健康者变成病人,从而 (1 ), (0) . (1 ), 0 i i i i dt di Nis Ni i dt di N = − = = = − 因此模型为 . (1 ) Logistic , ( ) 0 0 0 t i i e i i t − + − 这个模型称为 模 型 其解为 =
模型的分析与评价先传出和(0)~-的图形如下: 2+(1-i0)e-a d=ni(1-1) dt 0.5 0.5 由图可知当≠=05时,(达到最大,此时tn=n(10-1),这时病 人增加的速度最快可以认为这是这是门诊量最大的一天即 传染病的高潮到来是医疗卫生部门最关注的时刻.tn与成反 比因为日接触率表示该地区的卫生水平,越小表示卫生水平 越高所以改善保健设施提高卫生水平可以推迟传染病高潮 的到来 当t→∞时,i→1,即所以人都将被传染被成病人 绝大多数情况下不符合际
模型的分析与评价 先作出i(t)~t和i´(t)~t的图形如下: O 0.5 1 i m dt di ( ) dt di t m t 0 i 0.5 1 O i 由图可知,当i=0.5时, i´(t)达到最大,此时tm=ln(1/i0 -1)/λ,这时病 人增加的速度最快,可以认为这是这是门诊量最大的一天,即 传染病的高潮到来,是医疗卫生部门最关注的时刻. tm与λ成反 比,因为日接触率表示该地区的卫生水平, λ越小表示卫生水平 越高.所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮 的到来. . , 1, . 绝大多数情况下不符合实 际 当t → 时 i → 即所以人都将被传染而变成病人 t i i e i i t − + − = (1 ) ( ) 0 0 0 i(1 i) dt di = −
上面的模型仅仅考虑了健康人可以被传染没有考虑到病人 可以治愈,即病人可以变成健康人的情形. 模型3SIS模型)有些传染病如伤风、痢疾等病愈后免疫力 很低,可以假定没有免疫力于是病人病人被治愈后变成健康 者,健康者还可以被感染再变成病人,故称SIS模型 SIS模型的假设条件除上面的假设条件1,2外增加假设条件 3每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ称p为日治 愈率病人治愈后仍可被感染于是1/μ是这种传染病的平均传 染期 这时模型为N=AN-A,即 dil≥(1-i)-,i(0)=l 其解为(t) 元+[ 元--1p(,元≠()= +iota
上面的模型仅仅考虑了健康人可以被传染,没有考虑到病人 可以治愈,即病人可以变成健康人的情形. 模型3(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等病愈后免疫力 很低，可以假定没有免疫力.于是,病人病人被治愈后变成健康 者,健康者还可以被感染再变成病人,故称SIS模型. SIS模型的假设条件除上面的假设条件1,2外,增加假设条件 3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ,称μ为日治 愈率.病人治愈后仍可被感染.于是1/μ是这种传染病的平均传 染期. 这时模型为 Nsi Ni,即 dt di N = − , . 1 , ; ( ) [ ] ( ) 0 0 ( ) 0 = + = − − + − = − i t i i t e i i t t 其解为 (1 ) , (0) . 0 i i i i i dt di = − − =