交通流模型
交通流模型
1交通模型 考察在高速公路上行驶的交通车辆的流动问题目的研究何 时发生交通堵塞及如何防止的问题设x轴表示此公路,x轴 正方向车辆的前进方向 先考虑连续模型设u(t,x)表示时刻t的交通车辆按x方向分布 的痉度,即在时刻位于区间段x,x+dx中的车辆数为 u(t,x)dx再设q(tx)为车辆通过x点的流通率即在时段 Ittd内通过点x的车辆流量为取q(t,x)dt 我们考察时间段ttdt,位于xx+dx内的车辆变化情形由 车辆数守恒,得到 u(t +dt, x) dx-ut, xdx=gt, x)dt-qt, x+dx)dt 假定连续可微我们得到 a
1.交通模型 考察在高速公路上行驶的交通车辆的流动问题.目的研究何 时发生交通堵塞及如何防止的问题.设x轴表示此公路,x轴 正方向车辆的前进方向. 先考虑连续模型.设u(t,x)表示时刻t的交通车辆按x方向分布 的密度,即在时刻t,位于区间段[x,x+dx]中的车辆数为 u(t,x)dx.再设 q(t,x) 为车辆通过x点的流通率,即在时段 [t,t+dt]内通过点x的车辆流量为取 q(t,x)dt. 我们考察时间段[t,t+dt],位于[x,x+dx]内的车辆变化情形.由 车辆数守恒,得到 u(t + dt, x)dx − u(t, x)dx = q(t, x)dt − q(t, x + dx)dt 0 (1) , , = + x q t u 假 定u连 续可 微 我们得到
这个方程还需要进一步细化车辆流q(x)有其自身的特点 事实上许多问题都满足方程(1):如河流中的污染物的浓度 分布和流动;维问题下的热传导问题此时q=ku要想较准 确刻画这个问题我们可以通过一些调查得到 q 右图是根据美国公路上的车辆情 况统计而得到的曲线,其中u的单 位是车辆数哩,q的单位为车辆数 小时 (1)u值较小时,随着u的增加,q也增加; m ()u值较大时(>um),随着u的增加,q反而减少 具体说,um=75,此时q=1500:而当u=225时,q=0,即出现交通堵塞 从图上可以看出我们可以用抛物线来拟合设q=uu(1-u/)其中 是汽车的自由速度即整个公路上只有一辆汽车时的速度由于 u=0或者u=u时q=0故m=u2时达到最大值q=urm/2,因此 我们得到结构方程
这个方程还需要进一步细化,车辆流q(t,x) 有其自身的特点. 事实上,许多问题都满足方程(1):如河流中的污染物的浓度 分布和流动;一维问题下的热传导问题,此时q=-kut .要想较准 确刻画这个问题,我们可以通过一些调查得到. (1) u值较小时,随着u的增加,q也增加; (2) u值较大时(u> um),随着u的增加,q反而减少. 右图是根据美国公路上的车辆情 况统计而得到的曲线,其中u的单 位是车辆数/哩,q的单位为车辆数/ 小时. 具体说, um =75, 此时,q=1500;而当u=225时,q=0,即出现交通堵塞. u q um uj • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • 从图上可以看出,我们可以用抛物线来拟合.设q=ufu(1-u/uj ),其中 是汽车的自由速度,即整个公路上只有一辆汽车时的速度,由于 u=0或者u= uj时q=0,故um = uj /2时q达到最大值 q=uf um /2,因此 我们得到结构方程
cq=q()=-a(-b) 其中a=al,b=l于是我们得到交通模型 +(C-l 0 这里c=/2l=2l 做未知函数的变换=C-l则模型可化为 ah ah th 0 at ax 初始条件为(t=0,x)=h1(x)=C-lm0(x)(0≤n(x)≤) 我们可以用特征线法来解此方程结论是: 当h为单调不减函数时解整体存在; 否则,必定会在某个时刻发生追赶现象
, 2 / . ( ) 0, / , . ( ) ( ), f f j f j j c u l u u xu c lu tu a u u b u q q u a u u b = = = + − = = = = − − 这 里 其 中 于是我们得到交通模型为 (2) ( 0, ) ( ) ( )(0 ( ) ). 0, , 0 0 0 uj h t x h x c lu x u x xh h th h c lu = = = − = + = − 初始条件为 做未知函数的变换 则模型可化为 我们可以用特征线法来解此方程 .结论是 : 当 h 0为单调不减函数时 ,解整体存在 ; 否则 ,必定会在某个时刻 ,发生追赶现象 . t x
而当解光滑性不够时,我们可以用积分形式代替微分形式 任取[t1t2及x,x2由车辆数守恒我们得到 ∫(2x)d-∫(,x)d女=∫,x)-∫(x)(3) 上式表明对(t,x)平面上的任一矩形闭路,有 udx-gdt=0 从而对上半平面的任一闭路r,有 udx-gdt=o 当u,q具有连续偏导数时由格林公式我们可以从(4)得到(1) 若u(从而q(u)也)在(x)平面上有间断设解在曲线x=x(t两侧 具有连续偏导数,而在此曲线上有第一类间断设在两侧的极 限值分别为u,u取下图所示的闭路由(4)得到
而当解光滑性不够时,我们可以用积分形式代替微分形式. 任取[t1 ,t2 ]及[x1 ,x2 ],由车辆数守恒我们得到 (3) − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 1 2 t t t t x x x x u t x dx u t x dx q t x dt q t x dt (4) − = − = 0. , , 0. , ( , ) , udx qdt udx qdt t x 从 而 对上半平面的任一闭路闭 路 有 上式表明对 平面上的任一矩形闭路 有 当u,q 具有连续偏导数时,由格林公式,我们可以从(4)得到(1). 若u(从而q(u)也)在(t,x)平面上有间断,设解在曲线x=x(t)两侧 具有连续偏导数,而在此曲线上有第一类间断,设在两侧的极 限值分别为u- ,u+ .取下图所示的闭路,由(4)得到