人口模型
人口模型
背景 世界上人口在较快地增长人口总量还在迅速膨胀而且每个 人消耗的资源也在不断增加,地球的环境质量急剧恶化世 界人口发展的几个数据 年 1625183019301960197419871999 人口亿) 5 10 20 40 50 中国人口发展的几个数据: 年 1908193319531964198219902000 人口亿)3.0476.07210.311.31295 认清人口数量的变化规律建立人口模型作出较准确的预报, 是有效控制人口增长的前提
背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界上人口在较快地增长人口总量还在迅速膨胀,而且每个 人消耗的资源也在不断增加,地球的环境质量急剧恶化.世 界人口发展的几个数据: 中国人口发展的几个数据: 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 认清人口数量的变化规律,建立人口模型,作出较准确的预报, 是有效控制人口增长的前提
1指数增长模型( Malthus模型) Malthus(1766-1834牧师英国人口学家从英国人口百年资 料得到此模型 1)离散模型 设今年的人口总数为x,年增长率为r,k年后人口为x则 (1+r) 2)连续模型 设时刻t的人口为x(t假定x(t)连续并可导假设人口增长率 为常数;即单位时间内x(t)的增长量等于r乘以x(t于是 dx x,x(O0)=x0 其解为x()=xe 评价资源丰富时的人口模型如美国1790-1900年间的人口 (39-76百万发展就符合此模型,r=0.2743/10年=0.02743/年
1.指数增长模型(Malthus模型) Malthus(1766-1834),牧师,英国人口学家.从英国人口百年资 料得到此模型. 1) 离散模型 设今年的人口总数为x0 ,年增长率为r,k年后人口为xk ,则 (1 ) . 0 k k x = x + r 2) 连续模型 设时刻t的人口为x(t),假定x(t)连续并可导.假设人口增长率 为常数r,即单位时间内x(t)的增长量等于r乘以x(t),于是 , (0) . 0 rx x x dt dx = = ( ) . 0 rt 其解为 x t = x e 评价:资源丰富时的人口模型.如美国1790-1900年间的人口 (3.9-76百万)发展就符合此模型,r=0.2743/10年=0.02743/年
2阻滞增长模型( Logistic模型 人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增 长起着阻滞作用,并且随着人口的增加阻滞作用越来越大 因此人口增长率为人口总数x的单调减少函数通常假设为 r-SX, 即 =r(x)x=(r-x)x,x(0)=x0 称为固有增长率,表示人口很少时的增长率为确定s,引入 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口总量xm称为人 口容量当x=xn时人口不再增长即r(xm)=0于是s=r/xm dt =(/- x(0) 其解为x(1)
2.阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增 长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大. 因此人口增长率为人口总数x的单调减少函数,通常假设为 r-sx,即 ( ) ( ) , (0) . 0 r x x r sx x x x dt dx = = − = 称r为固有增长率,表示人口很少时的增长率.为确定s,引入 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口总量xm,称为人 口容量.当x= xm时,人口不再增长,即r(xm)=0.于是s=r/ xm. (1 ), (0) . 0 x x x x rx dt dx m = − = . 1 ( 1) ( ) 0 m rt m e x x x x t − + − 其解为 =
3人口发展方程模型 上面两个模型没有考虑人口的年龄结构及性别等复杂的因 素特别是年龄结构不同的年龄阶段的人的生育率和死亡率 有着很大的差别另外,即使人口总数一样如果年龄结构不同, 那么它们所面临的许多社会问题会有很大的差别下面我们 先考虑这一因素即我们考虑人口为时间和年龄的函数 引入人口分布函数F(r):表示时刻年龄小于怕的人口数记时 刻的人口总数为N),最高年龄为rn则 F(0,t)=0,F(rn,t)=N(t) 定义人口密度函数为p(r,) OF F(r+△,t)-F(r,t) Or△r+0 △r F(r+dr, t)-F(r, t=p(r, t)dr 于是p(r,t)dh表示时刻年龄在区间r,r+)内的人数
3.人口发展方程模型 上面两个模型没有考虑人口的年龄结构及性别等复杂的因 素.特别是年龄结构,不同的年龄阶段的人的生育率和死亡率 有着很大的差别.另外,即使人口总数一样,如果年龄结构不同, 那么它们所面临的许多社会问题会有很大的差别.下面我们 先考虑这一因素.即我们考虑人口为时间和年龄的函数. 引入人口分布函数F(r,t):表示t时刻年龄小于r的人口数.记t时 刻的人口总数为N(t),最高年龄为rm,则 F(0,t) 0, F(r ,t) N(t). = m = 定义人口密度函数为 . ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 r F r r t F r t r F p r t r + − = = → 于 是p(r,t)d r表示时刻t年龄在区间[r,r + d r)内的人数. F(r + dr,t) − F(r,t) = p(r,t)dr