23直线、平面垂直的判定及其性质 231直线与平面垂直的判定 考纲要求 1战线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这 条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥a 2直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 3.斜线 斜足 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法4) 条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角 二、自主学习 问题1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义 (1)阳光下,直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改 (3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线BC1的位置关系如何?依据是什么 问题2、直线与平面垂直的定义 如果直线Ⅰ与平面a内的低意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面a互相垂直,记作: 1⊥a.直线1叫做平面a的垂线,平面a叫做直线1的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 的公共点P叫做垂足 符号话:a是平面a内任一直线→1⊥a 图形语言 l⊥a 思想:直线与平面垂直→直线与平面垂直
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、考纲要求 1 奎屯 王新敞 新疆 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这 条直线和这个平面互相垂直 奎屯 王新敞 新疆 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 奎屯 王新敞 新疆 交点叫做垂足 奎屯 王新敞 新疆 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 奎屯 王新敞 新疆 2 奎屯 王新敞 新疆 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 奎屯 王新敞 新疆 3.斜线: 斜足 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0°的角． 二、自主学习 问题 1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改 变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么？ 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作： l⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯 一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言： 图形语言: 思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直 a l l a ⊥ ⊥ 是平面 内任一直线 α l P
思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂 直?(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线? 即若l⊥a,aca,则l⊥a 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD(如图1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触) (图1) (图2) (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直? 问题4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言:mCa,n∈a,m∩n=P 图形语言 l⊥m.l⊥n 思想:直线与直线垂直→直线与平面垂直 问题5、如图,在长方体ABCD-ABCD1中,请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系? C1 三、考点突破 典型例题 例1有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C,D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m, 那么旗杆就和地面垂直,为什么? 略
思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂 直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 即若 l ⊥ ,a ，则 l ⊥ a 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点 A 翻折纸片， 得到折痕 AD（如图 1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触） （图 1） （图 2） （1）折痕 AD 与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直？ 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言： 图形语言: 思想: 直线与直线垂直 直线与平面垂直 问题 5、如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系？ 三、考点突破 典型例题 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上） C D, ，如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6m ， 那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 略 B D C A B D A C ⊥ ⊥ ⊥ = l l m l n m n m n P , , , l α m n p A B C D A1 B1 C1 D1
例2已知a∥1b,a⊥a,则b⊥a吗?请说明理由 反馈训练 例3:在正方体ABCD_ABCD中,求 (1)直线AB和平面ABCD所成的角 (2)直线A1B和平面ABCD所成的角 C 谷案:(1)45 (2)30 例4.如图,已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD 所在平面 求证:EF⊥平面GMC 证明:已知EF⊥AC 又因为GC⊥平面ABCD 所以EF⊥GC 所以EF⊥平面GMC 四、考点巩固 1.直线l与平面a内的两条直线都垂直,则直线/与平面a的位置关系是(B) (A)平行(B)垂直(C)在平面α内(D)无法确定 2.对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件:(D) ①与a是异面直线;②与a所成的角为定值θ;③与a距离为定值d那么这样的直线b有() (A)1条(B)2条(C)3条(D)无数条
例 2 已知 a // b, a ⊥ ，则 b ⊥ 吗？请说明理由。 反馈训练 例 3: 在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D _ 中,求: (1)直线 AB1 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 AB1 和平面 A B C D 1 1 所成的角 答案：（1） o 45 （2） o 30 例 4．如图，已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 AD，AB 的中点，EF 交 AC 于 M，GC 垂直于 ABCD 所在平面． 求证：EF⊥平面 GMC． EF GMC EF GC GC ABCD EF AC 所以 平面 所以 又因为 平面 证明：已知 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 四、考点巩固 1. 直线 l 与平面内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面的位置关系是 (B) （A）平行 （B）垂直 （C）在平面内 （D）无法确定 2. 对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件：(D) ①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d 奎屯 王新敞 新疆 那么这样的直线b有（ ） （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）无数条 a b A B C D A 1 D1 C B 1 1 M F E A B C D G
3.下列关于直线l,m与平面α,B的命题中,真命题是 (B) (A)若l∈B且a⊥B,则/⊥ (B)若⊥B且a∥B,则1⊥ (C)若l⊥B且a⊥B,则l(D)a∩B=m且∥m,则l∥/x 4.已知直线a、b和平面M、N,且a⊥M,那么(A) (A)b∥M→→b⊥ (B)b⊥a→b∥M (C)N⊥M→a∥N (D)aaN→M∩N≠p 5.在正方体ABCD-ABC1D中,点P在侧面BCCB1及其边界上运动,并且保持 AP⊥BD,则动点P的轨迹为 (A) A)线段BC (B)线段BC1 6(C)B的中点与CC1的中点连成的线段(D)BC的中点与BC1的中点连成的线段 三条不同的直线,a、B、y为三个不同的平面 ①若a⊥B,B B ②若 ③若aca,b、ccBa⊥ba⊥c,则a⊥B ④若a⊥a,.bcB,a∥ b,则a⊥B 上面四个命题中真命题的个数是②④ 7.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点 (1)求证:MN∥平面PAD (2)求证:M⊥CD 8.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC 求证:BC⊥AD 证明:过A作AE⊥BC交BC于E点链接DE BD= CD DE⊥BC BC⊥平面AE BC⊥AD
3．下列关于直线 l m, 与平面 , 的命题中，真命题是 （ B ） ( ) A 若 l 且 ⊥ ，则 l ⊥ ( ) B 若 l ⊥ 且 // ，则 l ⊥ ( ) C 若 l ⊥ 且 ⊥ ，则 l // ( ) D = m 且 l m// ，则 l // 4．已知直线 a、b 和平面 M、N，且 a ⊥ M ，那么（ A ） （A） b ∥M b⊥a （B）b⊥a b∥M （C）N⊥M a∥N （D） a N M N [ 来源:学_科_网] 5．在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，点 P 在侧面 BCC B1 1 及其边界上运动，并且保持 AP BD ⊥ 1，则动点 P 的轨迹为 （ A ） ( ) A 线段 BC1 ( ) B 线段 BC1 ( ) C BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 ( ) D BC 的中点与 BC1 1 的中点连成的线段 6．三条不同的直线， 、、 为三个不同的平面 ①若 ⊥ , ⊥ ,则 ∥ ②若 a ⊥ b,b ⊥ c,则a ∥ c或a ⊥ c . ③若 a ,b 、c ,a ⊥ b,a ⊥ c,则 ⊥ ④ 若 a ⊥ ,b , a ∥ b,则 ⊥ 上面四个命题中真命题的个数是 ②④ 7．如图， PA ⊥ 矩形 ABCD 所在的平面， M N, 分别是 AB PC , 的中点， （1）求证： MN // 平面 PAD ； （2）求证： MN CD ⊥ 证明：略 8．已知：空间四边形 ABCD， AB AC = ， DB DC = ， 求证： BC AD ⊥ BC AD BC AED DE BC BD CD A AE BC BC E DE ⊥ ⊥ ⊥ = ⊥ 平面 证明 过 作 交 于 点 链接 : , E D C B A
232平面与平面垂直的判定 、考纲要求 1两个平面垂直的定义: 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面 2.两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 推理模式:aOa,a⊥B→a⊥B 二、自主学习 问题1:(定义) 半平面 二面角: 二面角的表示 二面角的平面角 二面角的平面角∠AOB的特点: (1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在二面角的两个面上:(3)角的两边分别和棱垂直 特别指出: ①二面角的大小是用平面角来度量的,其范围是[0,180°) ②二面角的平面角的大小与棱上点(角的顶点)的选择无关,是有二面角的两个面的位置惟
2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、考纲要求 1 奎屯 王新敞 新疆 两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面 奎屯 王新敞 新疆 2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 奎屯 王新敞 新疆 推理模式： a Ø ， a ⊥ ⊥ ． 二、自主学习 问题 1: （定义） 半平面： 二面角： 二面角的表示: 二面角的平面角: 二面角的平面角∠AOB 的特点： (1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。 特别指出： ①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0， 0 180 ）； ②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟