2.3直线、平面垂直的判定及其性质 知识梳理 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂 直,记作L⊥α,直线L叫做平面a的垂线,平面a叫做直线L的垂面。如图,直线与平面 垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 2、匾线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直绸 与此平面垂直。 注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视 b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭1 B 2、二面角的记法:二面角a-1-B或a-AB-B 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、值线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行 2、两个平面垂直的性质定理:两个平而垂直,则一个平而内垂直于交线的直线与另一 平面垂直。 知能训练 选择题 1.已知m和n是两条不同的直线,a和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β 的是 A.a⊥B,且 ∥n,且n⊥βC.a⊥β,且m∥ m⊥n,且n∥B
. . 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 ⚫ 知识梳理 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂 直，记作 L⊥α，直线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线 与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 ⚫ 知能训练 一．选择题 1．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是（ ） A．α⊥β，且 m⊂α B．m∥n，且 n⊥β C．α⊥β，且 m∥α D．m⊥n，且 n∥β
2.在三棱椎PABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所 示,则下列命题正确的是() A.AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为 B.BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为 3 C.AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为 D.BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为 DL 3.如图,在正四棱锥 S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是() C C D 4.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD:BC:AB=2:3:4,E、F分别是AB、CD的中 点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论 ①DF⊥BC ③平面DBF⊥平面BFC ④平面DCF⊥平面BFC 在翻折过程中,可能成立的结论是() A.①③ ②③ C.②④ D.③④ 5.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则 该球的表面积为() A.16丌 B.24π C.32√zπ 6.设O是空间一点,a,b,c是空间三条直线,a,β是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的 是
. . 2．在三棱椎 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，D 为侧棱 PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所 示，则下列命题正确的是（ ） A．A D⊥平面 PBC 且三棱椎 D-ABC 的体积为 8 3 B．B D⊥平面 PAC 且三棱椎 D-ABC 的体积为 8 3 C．A D⊥平面 PBC 且三棱椎 D-ABC 的体积为 16 3 D．B D⊥平面 PAC 且三棱椎 D-ABC 的体积为 16 3 3．如图，在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持 PE⊥AC．则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是（ ） A． B． C． D． 4．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F 分别是 AB、CD 的中 点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折．给出四个结论： ①DF⊥BC； ②BD⊥FC； ③平面 DBF⊥平面 BFC； ④平面 DCF⊥平面 BFC． 在翻折过程中，可能成立的结论是（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 5．已知 A，B，C，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面 ABC，AD=2AB=6，则 该球的表面积为（ ） A．1 6π B．2 4π C．3 2√2π D．4 8π 6．设 O 是空间一点，a，b，c 是空间三条直线，α，β 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的 是（ ）
A.当a∩b=0且aca,bca时,若c⊥a,c⊥b,则c⊥a B.当a∩b=0且aca,bca时,若a∥B,b∥B,则a∥B C.当bca时,若b⊥B,则a⊥β D.当bca时,且cqa时,若c∥a,则b∥c 7.已知平面a⊥平面β,点A∈a,则过点A且垂直于平面β的直线 A.只有一条,不一定在平面a内 B.有无数条,不一定在平面a内 C.只有一条,一定在平面a内 有无数条,一定在平面a内 8.如图,四棱锥 S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不 正确的是() A.AC⊥SB C B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 9.下列命题中错误的是() A.如果平面a⊥平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面β B.如果平面a不垂直于平面β,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面a⊥平面γ,平面β⊥平面y,a∩β=1,那么1⊥平面Y 如果平面a⊥平面β,那么平面a内所有直线都垂直于平面 ,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AC∩EF=G.现在沿AE、 EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则 在四面体PAEF中必有() A.AP⊥△PEF所在平面B.AG⊥△PEF所在平面 C.EP⊥△AEF所在平面D.PG⊥△AEF所在平面 11.如图,设平面an∩B=EF,AB⊥a,CD⊥a,垂足,分别为B,D,若增加一个条件,就 能推出BD⊥EF,现有①AC⊥β:②AC与a,β所成的角相等:③AC与CD在β内的射影 在同一条直线上:④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是() 个 B.2个 个 D.4个
. . A．当 a∩b=O 且 a⊂α，b⊂α时，若 c⊥a，c⊥b，则 c⊥α B．当 a∩b=O 且 a⊂α，b⊂α时，若 a∥β，b∥β，则α∥β C．当 b⊂α时，若 b⊥β，则α⊥β D．当 b⊂α时，且 c⊄α时，若 c∥α，则 b∥c 7．已知平面 α⊥平面 β，点 A∈α，则过点 A 且垂直于平面 β 的直线（ ） A．只有一条，不一定在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，一定在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 8．如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中不 正确的是（ ） A．A C⊥S B B．A B∥平面 SCD C．S A 与平面 SBD 所成的角等于 S C 与平面 SBD 所成的角 D．A B 与 S C 所成的角等于 D C 与 S A 所成的角 9．下列命题中错误的是（ ） A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β= l，那么 l⊥ 平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 10．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，AC∩EF=G．现在沿 AE、 EF、FA 把这个正方形折成一个四面体，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为 P，则 在四面体 P-AEF 中必有（ ） A．A P⊥△PEF 所在平面 B．A G⊥△PEF 所在平面 C．E P⊥△AEF 所在平面 D．P G⊥△AEF 所在平面 11．如图，设平面 α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为 B，D，若增加一个条件，就 能推出 BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC 与 α，β 所成的角相等；③AC 与 CD 在 β 内的射影 在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12.在△ABC中,∠BAC=90°,PA⊥平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则 图中直角三角形的个数是() B.8 C.10 13.经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是() C.无数 D.以上答案都不正确 14.如图,平面a⊥平面B,A∈a,B∈B,AB与两平面a、B所成的角分别为工和工过A B分别作两平面交线的垂线,垂足为A、B,则AB:AB=( A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 15.已知点E,F分别是正方体 ABCD-A1BC1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线 段D1E与C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有() A.0条 B.1条 D.无数条 16.三棱锥PABC的高为PH,若P到△ABC的三边的距离相等,若H在△ABC内,则H 为△ABC的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.垂心或内心 17.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B,C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在面ABC上的 射影H必在() A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.△ABC内部 18.如图是一个几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论 ①直线BE与直线CF异面 ②直线BE与直线AF异面 ③直线EF∥平面PBC P ④平面BCE⊥平面PAD 其中正确结论的个数是( E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 P 填空题 19.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是 Pc上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写 个你认为是正确的条件即可) Dy 20.已知平面α,β和直线,给出条件 1m∥a ②m⊥a ④a
. . 12．在△ABC 中，∠BAC=90°，PA⊥平面 ABC，AB=AC，D 是 BC 的中点，则 图中直角三角形的个数是（ ） A．5 B．8 C．1 0 D．6 13．经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是（ ） A．1 B．2 C．无数 D．以上答案都不正确 14．如图，平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与两平面 α、β 所成的角分别为 π 4 和 π 6 ．过 A、 B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A′、B′，则 AB：A′B′=（ ） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 15．已知点 E，F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB，AA1 的中点，点 M，N 分别是线 段 D1E 与 C1F 上的点，则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有（ ） A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．无数条 16．三棱锥 P-ABC 的高为 PH，若 P 到△ABC 的三边的距离相等，若 H 在△ABC 内，则 H 为△ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．垂心或内心 17．如图所示，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则 C1 在面 ABC 上的 射影 H 必在（ ） A．直线 A B 上 B．直线 B C 上 C．直线 C A 上 D．△ABC 内部 18．如图是一个几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E、F 分别为 PA、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线 BE 与直线 CF 异面； ②直线 BE 与直线 AF 异面； ③直线 EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二．填空题 19．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 时，平面 MBD⊥平面 PCD．（只要填写 一个你认为是正确的条件即可） 20．已知平面 α，β 和直线，给出条件： ①m∥α； ②m⊥α； ③m⊂α； ④α⊥β；
(i)当满足条件 时,有m∥B (ⅱ)当满足条件」 时,有m⊥β.(填所选条件的序号) 21.已知AB是平面a的垂线,AC是平面a的斜线,CD∈平面a,CD⊥AC,则面面垂直的有 22.设△ABC的三个顶点在平面a的同侧,AA1⊥平面a于点A1,BB1⊥平面a于点B1,CC1⊥平面a于 点C1,G、G1分别是△ABC和△AB1C1的重心,若AA1=7,BB1=3,CC1=5,则GG1= 23.设a,β为两个不重合的平面,m,n为两条不重合的直线,给出下列四个命题 ①若m⊥n,m⊥a,n￠a则n∥a ②若a⊥B,anB=m,nca,n⊥m,则n⊥β ③若m⊥n,m∥a,n∥B,则a⊥β ④若nca,mcβ,a与β相交且不垂直,则n与m不垂直 其中所有真命题的序号是 24.如图,在正方体 ABCD-A,B,C,D1中,点P在侧面BCCB1及其边界上运动,并且总是保持AP与BD 垂直,则动点P的轨迹为 25.如图,正方体 ABCD-A,B,C,D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果BE⊥平面ABF, 则CE与DF的和的值等于 26.如图所示,四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=√za,则它的 5个面中,互相垂直的面有 C 第24题 第25题 解答题 27.如图,在正方体 ABCD-A1B1CD1中,E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B AD1的中点,求证: (I)直线BC1∥平面EFPQ (Ⅱ)直线AC1⊥平面PQMN
. . ⑤α∥β． （i）当满足条件 时，有 m∥β； （ii）当满足条件 时，有 m⊥β．（填所选条件的序号） 21．已知 AB 是平面 α 的垂线，AC 是平面 α 的斜线，CD∈平面 α，CD⊥AC，则面面垂直的有 ． 22．设△ABC 的三个顶点在平面 α 的同侧，AA1⊥平面 α 于点 A1，BB1⊥平面 α 于点 B1，CC1⊥平面 α 于 点 C1，G、G1 分别是△ABC 和△A1B1C1 的重心，若 AA1=7，BB1=3，CC1=5，则 GG1= ． 23．设 α，β 为两个不重合的平面，m，n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若 m⊥n，m⊥α，n⊄α 则 n∥α； ②若 α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则 n⊥β； ③若 m⊥n，m∥α，n∥β，则 α⊥β； ④若 n⊂α，m⊂β，α 与 β 相交且不垂直，则 n 与 m 不垂直． 其中所有真命题的序号是 ． 24．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总是保持 AP 与 BD1 垂直，则动点 P 的轨迹为 ． 25．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点，如果 B1E⊥平面 ABF， 则 CE 与 DF 的和的值等于 ． 26．如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a，PB=PD=√2a，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 对． 第 24 题 第 25 题 第 26 题 三．解答题 27．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、P、Q、M、N 分别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、 A1D1 的中点，求证： （Ⅰ）直线 BC1∥平面 EFPQ； （Ⅱ）直线 AC1⊥平面 PQMN．