一确定 ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 直二面角: 规律:求异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 例1:如图四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱长均为√2,求二面角A-BDC的大小。 问题2:(定义) 两个平面互相垂直: 两个互相垂直的平面画法 平面a与β垂直,记作 定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言:AB⊥B,AB∩B=B, AB C D C 图形语言 三、考点突破 典型例题 例1、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角白 阝么这两个二 面角() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 答案D 例2、如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F是线段AB上的两点,且DE⊥AB CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起, 使A,B两点重合于点G,得到多面体 CDEFG (1)求证:平面DEG⊥平面CFG (2)求多面体 CDEFG的体积 (1)证明因为DE⊥EF,CF⊥EF 所以四边形CDEF为矩形 由GD=5,DE=4,得 GE=VGD-DE=3 由GC=4E,CF=4,得FG=GC-C=4,所以EF=5 在△EFG中,有EF=GE2+FG2
一确定； ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 直二面角: 规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 例 1：如图四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2，其余各棱长均为 2 ，求二面角 A-BD-C 的大小。 问题 2：（定义） 两个平面互相垂直： 两个互相垂直的平面画法： 平面 与β垂直，记作： 定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号语言: AB AB =B AB ⊥ ⊥ ， ， 图形语言: 三、考点突破 典型例题 例 1、 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二 面角( )． A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 答案 D 例 2、 如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E、F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB， CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4 2，DE＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起， 使 A，B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG. (1)求证：平面 DEG⊥平面 CFG； (2)求多面体 CDEFG 的体积． (1)证明 因为 DE⊥EF，CF⊥EF， 所以四边形 CDEF 为矩形． 由 GD＝5，DE＝4，得 GE＝ GD2－DE2＝3. 由 GC＝4 2，CF＝4，得 FG＝ GC2－CF2＝4，所以 EF＝5. 在△EFG 中，有 EF2＝GE2＋FG2
所以EG⊥GF 又因为CF⊥EF,CF⊥FG,所以CF⊥平面EFG 所以CF⊥EG,又CF∩GF=F,所以EG⊥平面CFG 又EGc平面DEG,所以平面DEG⊥平面CFG (2解如图,在平面EGF中,过点G作GH⊥EF于点H,则GH=EC=12 因为平面CDEF⊥平面EFG,所以GH⊥平面CDEF, 所以CD=3 S MH CDEF-GH=16 例3、已知Rt△ABC,斜边BCCa,点Aa,AO⊥a,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO 45°,求二面角ABCO的大小 解如图,在平面a内,过O作OD⊥BC,垂足为D,连接AD AO⊥a,BCCa,∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD=O ∴BC⊥平面AOD 而ADc平面AOD ∴AD⊥BC ∠ADO是二面角ABCO的平面角 由AO⊥a,OBca,OCca,知AO⊥OB,AO⊥OC 又∠ABO=30°,∠ACO=45°, ∴设AO=a,则AC=V2a,AB=2a 在Rt△ABC中,∠BAC=90°, BC=√AC+AB=√Ga AD=AbAC2 在R△AOD中,sin∠1DD=o ,∠ADO=60°.即二面角ABCO的大小是60° 反馈训练 例4、如图在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D 是棱AA1的中点 (1)证明:平面BDC1⊥平面BDC (2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比 (1)证明由题设知BC⊥CC,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACCA1 又DC1C平面ACC1A1,所以DC1⊥BC 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC又DC∩BC=C,所 以DC1⊥平面BDC 又DC1c平面BDC1,故平面BDC⊥平面BDC (2)解设棱锥 BDACO1的体积为V1,AC=1 由题意得V1= 1+2 ×1×1= 又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,所以(-V):H1=1:1 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1. 四、考点巩固 1.过平面a外两点且垂直于平面a的平面 (A)有且只有一个 (B)不是一个便是两个 (C)有且仅有两个 (D)一个或无数个
所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF，CF⊥FG，所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG，又 CF∩GF＝F，所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG⊂平面 DEG，所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)解 如图，在平面 EGF 中，过点 G 作 GH⊥EF 于点 H，则 GH＝ EG·GF EF ＝ 12 5 . 因为平面 CDEF⊥平面 EFG，所以 GH⊥平面 CDEF， 所以 V 多面体 CDEFG＝ 1 3 S 矩形 CDEF·GH＝16. 例 3、 已知 Rt△ABC，斜边 BC⊂α，点 A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角 ABCO 的大小． 解 如图，在平面 α 内，过 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD＝O， ∴BC⊥平面 AOD. 而 AD⊂平面 AOD， ∴AD⊥BC. ∴∠ADO 是二面角 ABCO 的平面角． 由 AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知 AO⊥OB，AO⊥OC. 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴设 AO＝a，则 AC＝ 2a，AB＝2a. 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， ∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a， ∴AD＝ AB·AC BC ＝ 2a· 2a 6a ＝ 2 3 3 a. 在 Rt△AOD 中，sin∠ADO＝ AO AD＝ a 2 3 3 a ＝ 3 2 . ∴∠ADO＝60°.即二面角 ABCO 的大小是 60°. 反馈训练 例 4、如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ 1 2 AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． (1)证明 由题设知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1⊂平面 ACC1A1，所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即 DC1⊥DC.又 DC∩BC＝C，所 以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1⊂平面 BDC1，故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)解 设棱锥 BDACC1 的体积为 V1，AC＝1. 由题意得 V1＝ 1 3 × 1＋2 2 ×1×1＝ 1 2 . 又三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1. 四、考点巩固 1．过平面 外两点且垂直于平面 的平面 （ D ） ( ) A 有且只有一个 ( ) B 不是一个便是两个 ( ) C 有且仅有两个 ( ) D 一个或无数个