人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案A 第1课时 教学内容:2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定 教学目标 知识与技能 1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理 2.掌握直线和平面所成的角的求法 3.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互 相垂直”的概念 4.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用 过程与方法 1.经历直线和平面垂直的定义的形成过程;探究判定直线与平面垂直的方法; 2.经历直观感知“二面角”概念的形成过程:用类比方法思考“二面角”的度量 方法及两个平面垂直的判定定理 三、情慼、态度与价值观 1.学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知 2.通过经历概念的形成、发展和应有的过程,知道数学存在于现实生活周围,形 成积极思维,发展观察、分析、解决问题的能力 教学重点、难点 教学重点 1.直线与平面垂直的定义和判定定理 2.直线和平面所成的角 3.平面与平面垂直的判定 教学难点 1.直线与平面垂直判定定理的探究 2.如何度量二面角的大小 教学关键 理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理,会应用 两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题 教学突破方法 通过学生观察大量的空间几何体的实例,先感性地认识两个定理,然后通过严格的 证明来理解两个定理,利用针对性较强的习题来巩固两个定理.对于本节的线面角和 面角的概念,需首先掌握其定义,其次了解其求法 教法与学法导航 教学方法 问题教学法,讨论法,练习法.通过提出问题,学生观察空间实物及模型,先独立
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 1 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 教案 A 第 1 课时 教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； 2. 掌握直线和平面所成的角的求法； 3. 正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互 相垂直”的概念； 4. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用. 二、过程与方法 1. 经历直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法； 2. 经历直观感知“二面角”概念的形成过程；用类比方法思考“二面角”的度量 方法及两个平面垂直的判定定理. 三、情感、态度与价值观 1. 学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. 2. 通过经历概念的形成、发展和应有的过程，知道数学存在于现实生活周围，形 成积极思维，发展观察、分析、解决问题的能力. 教学重点、难点 教学重点 1. 直线与平面垂直的定义和判定定理； 2. 直线和平面所成的角； 3. 平面与平面垂直的判定. 教学难点 1. 直线与平面垂直判定定理的探究； 2. 如何度量二面角的大小. 教学关键 理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理，会应用 两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题. 教学突破方法 通过学生观察大量的空间几何体的实例，先感性地认识两个定理，然后通过严格的 证明来理解两个定理，利用针对性较强的习题来巩固两个定理．对于本节的线面角和二 面角的概念，需首先掌握其定义，其次了解其求法. 教法与学法导航 教学方法 问题教学法，讨论法，练习法．通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立
教师备课系统多媒体教案 思考可判定线面垂直、面面垂直的条件,然后相互讨论、交流,最后得出完整结论. 学习方法 自主学习,自主探究,互动学习,合作交流,动手实践,观察探究,归纳总结.在 学生观察大量空间几何体实例的基础上,通过老师的启发诱导,归纳总结得到线面垂直 面面垂直的条件,即两个判定定理 教学准备 教师准备 多媒体课件(用于展示问题,引导讨论,出示答案),空间几何体的模型或图片. 学生准备 线线垂直的概念 教学过程 教学 过程 教学内容 师生互动 设计 意图 新课 问题:直线和平面平行的判定 师投影问题,学生回答 导入 方法有几种? 生:可用定义可判断,也/复习 可依判定定理判断 巩固 直线和平面垂直的定义、师:日常生活中我们对直 画法 线与平面垂直有很多感性认 如果直线l与平面a内的任识,如旗杆与地面、桥柱与水 意一条直线都垂直,我们说直线面等,你能举出更多的例子来 与平面a互相垂直,记作1⊥a.吗? 直线l叫做平面的垂线,平面a叫 师:在阳光下观察直立/培养学 做直线的垂面直线与平面垂直于地面的旗杆及它在地面的/生的几 时,它们唯一的公共点P叫做垂影子,它们的位置关系如何?/直观 生:旗杆与地面内任意一|力使 画直线与平面垂直时,通常把条经过P的直线垂直 他们在 探索直线画成与表示平面的平行四边师:那么旗杆所在直线与 直观感 知,操 新知形的一边垂直,如图 平面内不经过P点的直线位 置关系如何,依据是什么?作确认 的基础 (图) 生:垂直,依据是异面政/上学会 线垂直的定义 归纳概 括结 师:你能尝试给线面垂直 下定义吗? 师:能否将任意直线改为 无数条直线?学生找一反例 续上表
教师备课系统──多媒体教案 2 思考可判定线面垂直、面面垂直的条件，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论. 学习方法 自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结．在 学生观察大量空间几何体实例的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结得到线面垂直、 面面垂直的条件，即两个判定定理. 教学准备 教师准备 多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片. 学生准备 线线垂直的概念. 教学过程 教学 过程 教学内容 师生互动 设计 意图 新课 导入 问题：直线和平面平行的判定 方法有几种？ 师投影问题，学生回答. 生：可用定义可判断，也 可依判定定理判断. 复习 巩固 探索 新知 一、直线和平面垂直的定义、 画法 如果直线 l 与平面 内的任 意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l⊥ . 直线 l 叫做平面的垂线，平面 叫 做直线 l 的垂面.直线与平面垂直 时，它们唯一的公共点 P 叫做垂 足. 画直线与平面垂直时，通常把 直线画成与表示平面的平行四边 形的一边垂直，如图. 师：日常生活中我们对直 线与平面垂直有很多感性认 识，如旗杆与地面、桥柱与水 面等，你能举出更多的例子来 吗？ 师：在阳光下观察，直立 于地面的旗杆及它在地面的 影子，它们的位置关系如何？ 生：旗杆与地面内任意一 条经过 P 的直线垂直. 师：那么旗杆所在直线与 平面内不经过 P 点的直线位 置关系如何，依据是什么？ （图） 生：垂直，依据是异面直 线垂直的定义. 师：你能尝试给线面垂直 下定义吗？ …… 师：能否将任意直线改为 无数条直线？学生找一反例 说明. 培养学 生的几 何直观 能力使 他们在 直观感 知，操 作确认 的基础 上学会 归纳概 括 结 论. 续上表
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 、直线和平面垂直的判定师:下面请同学们准备 试验如图,过△ABC的顶块三角形的小纸片,我们一起 点A翻 来做一个实验,(投影问题) 折纸片, 学生动手实验,然后回答 得到折 问题 培养学 痕AD 生:当且仅当折痕AD是生的几 将翻折后的纸片竖起放置在桌面BC边上的高时,AD所在直线何直观 上(BD、DC与桌面接触) 与桌面所在平面a垂直 能力使 (1)折痕AD与桌面垂直师:此时与AD垂直的是他们在 探索/吗? 条直线还是两条直线? 直观感 (2)如何翻折才能使折痕AD生:AD垂直于桌面两条知,操 新知 与桌面所在平面a垂直? 直线,而且这两条直线相交.作确认 2.直线与平面垂直的判定定 师:怎么证明? 的基础 生:折痕AD⊥BC,翻折上学会 条直线与一个平面内两条之后垂直关系不变,即AD⊥归纳概 相交直线都垂直,则该直线与此平CD,AD⊥BD 括结 面垂直 论 思考:能否将直线与平面垂直师:直线和平面垂直的判 的判定定理中的“两条相交直定定理体现了“直线与平面 线”改为“一条直线或两条平行直垂直”与“直线与直线垂 直”互相转化的数学思想 例1如图,已己知a∥b,a⊥a 师:要证b⊥a,需证b 求证:b⊥a 与.a内任意一条直线的垂 【证明】 直,又a∥b,问题转化为a 巩 在平面a内 与面a内任意直线m垂直 作两条相交 固所学 这个结论显然成立 直线m、n. 学生依图及分析写出证知识培 典例 因为直线a⊥a,根据直线与明过程 养学生 剖析平面垂直的定义知 转化化 归能 ⊥n. 师:此结论可以直接利 力、书 又因为b∥a, 用,判定直线和平面垂直 所以b⊥m,b⊥n. 写表达 又因为mca,nca,m、n 能力 是两条相交直线 续上表
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 3 探索 新知 二、直线和平面垂直的判定 1．试验 如图，过△ABC 的顶 点 A 翻 折纸片， 得到折 痕 AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上（BD、DC 与桌面接触）. （1）折痕 AD 与桌面垂直 吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直？ 2．直线与平面垂直的判定定 理： 一条直线与一个平面内两条 相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直. 思考：能否将直线与平面垂直 的判定定理中的“两条相交直 线”改为“一条直线或两条平行直 线”？ 师：下面请同学们准备一 块三角形的小纸片，我们一起 来做一个实验，（投影问题）. 学生动手实验，然后回答 问题. 生：当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线 与桌面所在平面 垂直. 师：此时与 AD 垂直的是 一条直线还是两条直线？ 生：AD 垂直于桌面两条 直线，而且这两条直线相交. 师：怎么证明？ 生：折痕 AD⊥BC，翻折 之后垂直关系不变，即 AD⊥ CD，AD⊥BD． 师：直线和平面垂直的判 定定理体现了“直线与平面 垂直” 与“直 线与直 线垂 直”互相转化的数学思想. 培养学 生的几 何直观 能力使 他们在 直观感 知，操 作确认 的基础 上学会 归纳概 括 结 论. 典例 剖析 例 1 如图，已知 a∥b，a⊥ ， 求证：b⊥ . 【证明】 在平面 内 作两条相交 直线 m、n. 因为直线 a⊥ ，根据直线与 平面垂直的定义知 a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a， 所以 b⊥m，b⊥n. 又因为 m n , ，m、n 是两条相交直线， b⊥ . 师：要证 b⊥ ，需证 b 与 内任意一条直线的垂 直，又 a∥b，问题转化为 a 与面 内任意直线 m 垂直， 这个结论显然成立. 学生依图及分析写出证 明过程. …… 师：此结论可以直接利 用，判定直线和平面垂直. 巩 固所学 知识培 养学生 转化化 归 能 力、书 写表达 能力. 续上表
教师备课系统多媒体教案 、直线和平面所成的角 如图 条直线 PA和一个 平面a相 交,但不与 这个平面垂直,这条直线叫做这个 平面的斜线,斜线的平面的交点A 借助多 探索叫做斜足.过斜线上斜足以外的 教师借助多媒体直接讲|媒体讲 授,注意直线和平面所成的角授,提 新知点向平面引垂线PO,过垂足O和 是分三种情况定义的. 高上课 斜足A的直线AO叫做斜线在这个 效率 平面上的射影.平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的锐角,叫 做这条直线和这个平面所成的角 条直线垂直于平面,我们说 它们所成的角是直角:一条直线和 平面平行,或在平面内,我们说它 们所成的角是0°的角 例2如图,在正方体ABCD 师:此题A1是斜足,要 A1B1C1D1中,求A1B和平面求直线A1B与平面A1BCD所 A1B1CD所成的角 成的角,关键在于过B点作出 【分析我找出直线A1B在平面(找到,面AB1CD的垂线,点拨关 A1B1CD内 作出(找到)面ABCD的垂键点 典例/的射影,就 线,直线A1B在平面A1BCD突破难 剖析可以求出 内的射影就知道了,怎样过点,示 A1B和平面 B作平面ABCD的垂线呢?范书写 A1B1CD所 生:连接BC1即可 及解题 成的角 师:能证明吗? 步骤 学生分析,教师板书,共 同完成求解过程 解:连接BC1交B1C于点O, 连接A1O 设正方体的棱长为a,因为 典例A1B1⊥B1C,AB1⊥BB,所以 剖析A1B1⊥平面BCC1B1 所以A1B1⊥BC1 续上表
教师备课系统──多媒体教案 4 探索 新知 三、直线和平面所成的角 如图， 一条直线 PA 和一个 平面 相 交，但不与 这个平面垂直，这条直线叫做这个 平面的斜线，斜线的平面的交点 A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一 点向平面引垂线 PO，过垂足 O 和 斜足A 的直线AO叫做斜线在这个 平面上的射影.平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的锐角，叫 做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说 它们所成的角是直角；一条直线和 平面平行，或在平面内，我们说它 们所成的角是 0°的角. 教师借助多媒体直接讲 授，注意直线和平面所成的角 是分三种情况定义的. 借助多 媒体讲 授，提 高上课 效率. 典例 剖析 例 2 如图，在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中，求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 【分析】找出直线 A1B 在平面 A1B1CD 内 的射影，就 可以求出 A1B 和平面 A1B1CD 所 成的角. 师：此题 A1 是斜足，要 求直线 A1B 与平面A1B1CD 所 成的角，关键在于过 B 点作出 （找到，面 A1B1CD 的垂线， 作出（找到）面 A1B1CD 的垂 线，直线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影就知道了，怎样过 B 作平面 A1B1CD 的垂线呢？ 生：连接 BC1 即可. 师：能证明吗？ 学生分析，教师板书，共 同完成求解过程. 点拨关 键点， 突破难 点，示 范书写 及解题 步骤. 典例 剖析 解：连接 BC1 交 B1C 于点 O， 连接 A1O. 设正方体的棱长为 a，因为 A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 续上表
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 又因为BC1⊥B1C,所以B1C ⊥平面A1B1CD 所以A1O为斜线A1B在平 A1B1CD内的射影,∠BA1O为A1B 与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中 AB=√2a,BO=a 所以BO==AB ∠BA1O=30° 因此,直线AB和平面ABC4 所成的角为30° 四、二面角 教师结合二面角模型,类 1.二面角 比以上几个问题,归纳出二面 (1)半平面 角的概念及记法表示(可将角 平面内的一条直线把平面分与二面角从图形、定义、构成、通过模 成两部分,这两部分通常称为半平表示进行列表对比) 型教 师生共同实验(折纸)思 学,培 (2)二面角 考二面角的大小与哪一个角养学生 从一条直线出发的两个半平的大小相同?这个角的边与/几何直 探索面所组成的图形叫做二面角二面角的棱有什么关系?观能 力,通 新知( dihedral angle).这条直线叫做 生:过二面角棱上一点O 二面角的棱这两个半平面叫做二在二面角的面上分别作射线/过类比 面角的面 与二面角的棱垂直,得到的角 教学, (3)二面角的求法与画法与二面角大小相等 加深学 师改变O的位置,这生对知 识的理 个角的大小变不变 生:由等角定理知不变,解 续上表
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 5 又因为 BC1⊥B1C，所以 B1C ⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. 在 Rt△A1BO 中， 1 A B a = 2 ， 2 2 BO a = ， 所以 1 1 2 BO A B = ， ∠BA1O = 30°， 因此，直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°. 探索 新知 四、二面角 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把平面分 成两部分，这两部分通常称为半平 面. （2）二面角 从一条直线出发的两个半平 面 所 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 （dihedral angle）．这条直线叫做 二面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面. （3）二面角的求法与画法 教师结合二面角模型，类 比以上几个问题，归纳出二面 角的概念及记法表示（可将角 与二面角从图形、定义、构成、 表示进行列表对比）. 师生共同实验（折纸）思 考二面角的大小与哪一个角 的大小相同？这个角的边与 二面角的棱有什么关系？ 生：过二面角棱上一点 O 在二面角的面上分别作射线 与二面角的棱垂直，得到的角 与二面角大小相等. 师：改变 O 的位置，这 个角的大小变不变. 生：由等角定理知不变. 通过模 型 教 学，培 养学生 几何直 观 能 力，通 过类比 教学， 加深学 生对知 识的理 解. 续上表