例7.5.2设 2xy x2+y2≠0, 0 由于 2 If(x,y)l= 所以∫在(0,0)点连续(见图7.5.1)。 ∫在(00)点沿方向=l(cosa,sna)(a为l与x轴正向的夹角)的方向导数为 a=lin f(0+rl/ l cosa, 0+( I l sin ax)-f(0,0) t→0+ = lim 2 cos asina =2 asin a 且易知f()=f0)=0。注意,这个函数在(00点并不可微。否则的话,由 定理75.1,就得到∫在(0,0)点沿各方向的方向导数皆为零的谬误
例 7.5.2 设 0, 0 . , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 由于 | | 2 | ( , ) | 2 2 2 2 2 2 y y x y x y y x y xy f x y ， 所以 f 在 (0, 0) 点连续（见图 7.5.1）。 f 在 (0,0) 点沿方向 l || l || (cos,sin) （ 为 l 与 x 轴正向的夹角）的方向导数为 || || (0 || || cos , 0 || ||sin ) (0, 0) lim 0 l l l l t f f t t f t 2 2 2 2 0 2cos sin cos sin 2cos sin lim t 。 且易知 f x (0,0) f y (0,0) 0。 注意，这个函数在 (0, 0) 点并不可微。否则的话，由 定理 7.5.1，就得到 f 在(0, 0)点沿各方向的方向导数皆为零的谬误
0.5 -0.5 0.5 0.0 图7.5.1 图像全景
图 7.5.1 图像全景