五、例题dx-1+a例1 求 lim1+x? +a?a-0 Jadx1+aI+x'+a·由于a,1+a以及解 记 I(a)=1都是a和x的连续函数，由定理19.2已知1+x? +aI (a)在a=0 处连续，所以dx元lim I(a) = I(0)二24a→0+x前页后页返回
前页 后页 返回 1 2 2 d ( ) . 1 a a x I a x a + = + + 解 记 由于 a a ,1+ 以及 五、例 题 例1 求 1 2 2 0 d lim . 1 a a a x x a + → + + 2 2 1 1 + + x a 都是 a 和 x 的连续函数, 由定理19.2 已知 1 2 0 0 d π lim ( ) (0) . a 1 4 x I a I → x = = = + I (a) 在 a = 0 处连续, 所以
r2 In(1 + xy)dy的连续性例2 讨论函数I(x)=Iy解易见I(x)的定义域为(-1/2,+).令In(1 + xy)f(x,y)=(x,J) (-2,+0) ×[1,2].y11Vxge(-j,+00), 3a, b, 使得-亏<a<x,<b, f(x, )22.在[a,b]×x[1,2]上连续,因此I(x)在[a,b]上连续,从而在x上连续.由x,的任意性可得I(x)在(-1/2,+o0)上连续后页返回前页
前页 后页 返回 例2 讨论函数 2 1 ln(1 ) ( ) d xy I x y y + = 的连续性. 解 易见 I x( ) 的定义域为 ( 1 2, ). − + 令 ln(1 ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) [1,2]. 2 xy f x y x y y + = − + 0 0 1 1 ( , ), , , , 2 2 − + − x a b a x b 使得 f x y ( , ) 在[ , ] [1, 2] a b 上连续, 因此 I x a b ( ) [ , ] 在 上连续, 从 0 x 0 而在 上连续. 由 x 的任意性可得 I x( ) 在 ( 1 2, ) − + 上连续
例3计算积分1 ln(1 + x)1dx1+x?0解令I(a) = f'ln(1 + ax)dx , α e [0, 1]01+x210显然I(0) = 0, I(1)= I,且函数I(α)在R=[0, 1]×[0, 1]上满足定理19.3的条件，于是xro-Iar0+an)dx.因为后页返回前页
前页 后页 返回 例3 计算积分 1 2 0 ln(1 ) d . 1 x I x x + = + 解 令 1 2 0 ln(1 ) ( ) d , [0, 1]. 1 x I x x + = + 上满足定理19.3的条件, 于是 1 2 0 ( ) d . (1 )(1 ) x I x x x = + + 因为 显然 I I I (0) 0, (1) , = = 且函数 I( ) 在 R= [0, 1] [0, 1]
1xα+xα(1+x?(1+x")(1+ ax) 1+α1+αx所以αXαCdx+ax1r2/+=In(1+)- In(1 +αxaarctaV21+αα元+↓ln2-m241+α前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 2 1 , (1 )(1 ) 1 1 1 x x x x x x + = − + + + + + 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 ( ) d d d 1 1 1 1 x I x x x x x x = + − + + + + 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 arctan ln(1 ) ln(1 ) 1 2 x x x = + + − + + 所以 2 1 1 ln 2 ln(1 ) . 1 4 2 = + − + +
因而I'r(a) [+m2-(+)daO42"in(1+α),+in2aretanal,-I()82"1m2 +1n2 - I()88元= "In 2 - I(1).4前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 2 0 0 1 1 ( ) ln2 ln(1 ) d 1 4 2 I = + − + + 1 1 2 0 0 1 ln(1 ) ln2arctan (1) 8 2 I = + + − ln2 ln2 (1) 8 8 I = + − 因而 ln2 (1) . 4 I = −