另一方面f’ I(α)dα = I(1)- I(0) = I(1),所以I = I(1) = "ln2 .8例4设f(x)在x =0 的某个邻域内连续，验证当x|充amaot(9)分小时,函数 (x)的各阶导数存在，且β(")(x)=f(x)。返回前页后页
前页 后页 返回 1 0 I I I I ( )d (1) (0) (1) , = − = 另一方面 (1) ln2 . 8 I I = = 所以 分小时, 函数 1 0 1 ( ) ( ) ( )d ( 1)! x n x x t f t t n − = − − (9) 的各阶导数存在，且 ( )( ) ( ) . n x f x = 例4 设 f (x) 在 x = 0 的某个邻域内连续, 验证当|x|充
解由于(9)中被积函数F(x,t)=(x-t)n-lf(t)以及其偏导数F,(x,t)在原点的某个方邻域内连续，于是由定理19.4可得(n -1)(x -t)"-2 f(t)dt +p'(x) =(n-11(x-x)n-1 f(x)(n -1)!1(n-2) J(n-1)(x-1)"()dt.返回前页后页
前页 后页 返回 解 由于(9)中被积函数 1 ( , ) ( ) ( ) n F x t x t f t − = − 以及 其偏导数 ( , ) F x t x 在原点的某个方邻域内连续, 于 是由定理 19.4 可得 2 0 1 ( ) ( 1)( ) ( )d ( 1)! x n x n x t f t t n − = − − + − 1 1 ( ) ( ) ( 1)! n x x f x n − − − 2 0 1 ( 1)( ) ( )d . ( 2)! x n n x t f t t n − = − − −
同理1J, (n-1)(x -t)"-3 f(t)dt,(n-3)!Jo如此继续下去，求得k阶导数为1J, (n-1)(x -t)"-k-1 f(t)dt .D(M)(x)=2(n-k-1)!J特别当k=n-1时有β(n-1)(x)= fe f(t)dt ,后页返回前页
前页 后页 返回 3 0 1 ( ) ( 1)( ) ( )d , ( 3)! x n x n x t f t t n − = − − − ( ) 1 0 1 ( ) ( 1)( ) ( )d . ( 1)! x k n k x n x t f t t n k − − = − − − − 同理 如此继续下去，求得 k 阶导数为 ( 1) 0 ( ) ( )d , x n x f t t − = 特别当 k n = − 1 时有
于是β("(x)=f(x). 附带说明:当x= 0 时,p(x)及其各导数为p(0) = β(0) = . = p(n-1)(0) = 0 .['x-x例5求 I =dx(b>a>0).In xxb -x所以x'dy解 因为InxI =['dx"x'dy10又由于函数x在R=[0,1]×[a,b]上满足定理19.6 的后页返回前页
前页 后页 返回 ( )( ) ( ). n 于是 x f x = 附带说明:当 x = 0 时, ( ) x 及 其各导数为 ( 1) (0) (0) (0) 0 . n − = = = = 例5 求 1 0 d ( 0) . ln b a x x I x b a x − = 1 0 d d . b y a I x x y = d , ln b a b y a x x x y x 所以 − = 解 因为 又由于函数 = [0, 1] [ , ] y x R a b 在 上满足定理19.6 的
条件，所以交换积分顺序得到1+ bx'dxI =dyX=y=1Da1+y1+a例6 设 I(x)= f2" ysin(x)dy,求 , I(x) dx.元y-sin y解显然，本题不宜先求出I(x)，再算积分值.可试用交换积分次序的方法求出积分值设 f(x, y) = ysin(xy)则f(x,y)在[0,1]×[元,2元y- sin y后页返回前页
前页 后页 返回 条件, 所以交换积分顺序得到 1 0 1 1 d d d ln . 1+ 1 b b y a a b I y x x y y a + = = = + 2 sin( ) ( ) d , sin y xy I x y y y = − 1 0 I x x ( ) d . 例6 设 求 解 显然, 本题不宜先求出 I x( ) , 再算积分值. 可试 用交换积分次序的方法求出积分值. sin( ) ( , ) , sin y xy f x y y y = − 设 则 f x y ( , ) 在 [0,1] [ ,2 ]