注 由于可微性也是局部性质,定理19.3中条件f与f在[a,b]x[c,d]上连续可改为在×[c,d]上连续其中为任意区间前页后页返回
前页 后页 返回 注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件 f 与 [ , ] [ , ] [ , ] , x f a b c d c d 在 上连续可改为在 上连续 其中 为任意区间
四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得：定理19.5(I(x)的可积性）若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续,则 I (x)与 J (x)分别在[a,b]和[c,d]上可积这就是说：在f(x，J)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：[(x, )ay ax 与 ['(x, dx y.返回前页后页
前页 后页 返回 四、含参量正常积分的可积性 由定理19.1与定理19.2推得: 定理19.5 ( I x( )的可积性 ) 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R a b c d = [ , ] [ , ] 上连续,则 I (x)与 J (x)分别在 [ , ] a b 和 [ , ] c d 上可积. 这就是说: 在 f x y ( , ) 连续性假设下, 同时存在两个 求积顺序不同的积分: ( , )d d b d a c f x y y x ( , )d d . d b c a 与 f x y x y
为书写简便起见，今后将上述两个积分写作'dxf' f(x, y)dy与J' dy]' f(x, y)dx.前者表示f(x,y)先对y求积然后对x求积，后者则表示求积顺序相反.它们统称为累次积分在f(x,)连续性假设下,累次积分与求积顺序无关定理19.66 若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]x[c,d]上连续,则I'dx" f(x, y)dy = f"'dyf' f(x, y)dx.(8)后页返回前页
前页 后页 返回 为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作 d ( , )d b d a c x f x y y d ( , )d . d b c a 与 y f x y x 前者表示 f x y ( , ) 先对 y 求积然后对 x 求积, 后者则 表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分. 在 f x y ( , ) 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关. 定理19.6 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R a b c d = [ , ] [ , ] 上 连续, 则 d ( , )d d ( , )d . (8) b d d b a c c a x f x y y y f x y x =
证记I(u) = [" dxf" f(x, y)dy, I,(u) = f" dyf" f(x, y)dx,其中uε[a,b],现在分别求 I(u)与 I,(u)的导数I;() ==1(x)dx =(n).duJa对于I,(u),令H(u, y)= f(x, y)dx，则有I,(u) = f' H(u, y)dy.因为H(u,y)与H,(u, y)=f(u,y)都在R上连续,由返回前页后页
前页 后页 返回 = 1 ( ) d ( , )d , u d a c I u x f x y y = 2 ( ) d ( , )d , d u c a I u y f x y x 证 记 1 d ( ) ( )d ( ) . d u a I u I x x I u u = = 1 2 其中 u a b I u I u [ , ] , ( ) ( ) 现在分别求 与 的导数. 2 ( ) ( , )d . d c I u H u y y = 2 ( ) , ( , ) ( , )d , u a I u H u y f x y x = 对于 令 则有 因为 H u y ( , ) 与 H u y f u y u ( , ) ( , ) = 都在R上连续, 由
定理19.3,dH(u, y)dy =f" H,(u, y)dyI’(u) =du'c= J" f(u, y)dy = I(u) .故得I;(u)=I;(u),因此对一切uε[a,b],有I,(u)=I,(u) +k(k为常数).当 u=a时, I(a)=I,(a)=0,于是k=0, 即得I,(u) = I,(u), ue[a, b].取u = b 就得到所要证明的(8)式后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 I u I u k k ( ) ( ) ( ) . = + 为常数 2 d ( ) ( , )d ( , )d d d d u c c I u H u y y H u y y u = = ( , )d ( ) . d c = = f u y y I u 定理19.3, 1 2 故得 I u I u ( ) ( ) , = 因此对一切 u a b [ , ] , 有 1 2 I u I u u a b ( ) ( ) , [ , ] . = 当 时, 1 2 u a = I a I a k ( ) ( ) 0 , 0, = = = 于是 即得 取 u b = 就得到所要证明的(8)式