《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十九章 含参量积分

三、含参量正常积分的可微性定理19.3(I(x)的可微性)若函数f(x,y)与其偏导数f(x,)都在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续则函数I(x)= f" f(x, y)dy在[a,b]上可微,且-(.后页返回前页

前页 后页 返回 三、含参量正常积分的可微性 定理19.3 ( I x( )的可微性 ) 若函数 f x y ( , ) 与其偏导 ( , ) x 数 f x y 都在矩形区域 R a b c d =  [ , ] [ , ] 上连续, 则函数 =  ( ) ( , )d d c I x f x y y 在 [ , ] a b 上可微, 且 d ( , )d ( , )d . d d d x c c f x y y f x y y x =  

证对于a,bl内任意一点x.设x+△xE[a,bl(若x为区间的端点，则讨论单侧函数)，则I(x+Ax)-I(x) _rd f(x+△x, y) - f(x, y)11AxArJc由微分学的拉格朗日中值定理及f(x,y)在有界闭域R上连续(从而一致连续),对Vε>0,3S>0,只要x<时，就有(x+ Ax, y) -(x, ) - f(x, y)Ar后页返回前页

前页 后页 返回 证 对于 [ , ] a b 内任意一点x, 设 x x a b +   [ , ] (若x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则 + − + − =  ( ) ( ) ( , ) ( , )d . d c I x x I x f x x y f x y y x x     由微分学的拉格朗日中值定理及 ( , ) x f x y 在有界闭 域 R上连续(从而一致连续),对       0 , 0, 只要 x   时， 就有 + − − ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x  

=f,(x+x, y)- fr(x, y)]<8,其中θ e(0,1). 因此F(x+ Ax, y) - f(x, ) - f(x, y)dy<TAr≤(d -c).这就证明了对一切xE[a,b],有后页返回前页

前页 后页 返回 ( , ) ( , ) , x x = + −  f x x y f x y    其中 因此  (0,1). −  ( , )d d x c I f x y y x   + −  −  ( , ) ( , ) ( , ) d d x c f x x y f x y f x y y x    −  ( ) . d c 这就证明了对一切 x a b [ , ] , 有

d.1I(x)= [" f,(x, y)dy.dx定理19.4(F(x)的可微性) 设 f(x,y),f(x, J)在R=[a, b]×[p,q]上连续, c(x), d(x)为定义在[a, b]上其值含于[p,ql内的可微函数，则函数d(x)F(x)=fec) f(x,y)dyx在[a,b]上可微,且aF(x) = e) f.(x, y)dy + f(x, d(x)d'(x)(x)(7)-f (x, c(x))c'(x)后页返回前页

前页 后页 返回 R a b p q =  [ , ] [ , ] 上连续, c(x), d(x)为定义在 [ , ] a b 上 d ( ) ( , )d . d d x c I x f x y y x =  F x( ) ( , ), ( , ) x 定理19.4 ( 的可微性) 设 f x y f x y 在 其值含于[ p, q]内的可微函数, 则函数 ( ) ( ) ( ) ( , )d d x c x F x f x y y =  在 [ , ] a b 上可微, 且 ( ) ( ) ( ) ( , )d ( , ( )) ( ) d x x c x F x f x y y f x d x d x   = +  − f x c x c x ( , ( )) ( ) . (7) 

证把F(x)看作复合函数：F(x) = H(x, c, d) = f" f(x, y)dy,c =c(x), d = d(x) .由复合函数求导法则及变动上限积分的性质，有aHdF(x)aH dc,aH dd十1十axdxOc dx?d dxd(x)*fr(x, y)dy + f(x, d(x)d'(x)c(x) f (x, c(x))c'(x) .后页返回前页

前页 后页 返回 证 把 F(x) 看作复合函数: ( ) ( , , ) ( , )d , d c F x H x c d f x y y = =  c c x d d x = = ( ) , ( ) . 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有 d d d ( ) d d d H H c H d F x x x c x d x    = + +    ( ) ( ) ( , )d ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) . d x x c x f x y y f x d x d x f x c x c x = +  −  