第二章随机变量及其分布总习题、自测题及其详解
第二章 随机变量及其分布 总习题、自测题及其详解
总习题二1.从有2只次品的15件同型号的产品中，不放回地连取3次，每次任取1件.X表示取出次品的件数，求×的分布律2、随机变量x的分布律为CakP(X=k} =(k=0,1,2,..;a>0),k!试确定常数C.3.一个篮球运动员的投篮命中率为45%.X表示他首次投中时累计已投篮次数，（1）求x的分布律；（2）计算×取偶数的概率.4.设随机变量X的概率密度为x,0≤x<1,f(x)=2-x, 1≤x<2,0,其它.求 x的分布函数 F(x).5.设随机变量×的分布函数为0,x<1Fr(x)=}lnx, 1<x<e,1,x≥e(1) 求P(X<1)，P(0<X≤3). (2)求概率密度fx(x)6.在区间[0,51上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,5]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例.试求×的分布函数7.设随机变量×的分布律为x-2-1013111111Pk-515161530求Y=X的分布律.8.设x为连续随机变量，其分布密度为
总 习 题 二 1.从有 2 只次品的 15 件同型号的产品中，不放回地连取 3 次，每次任取 1 件.X 表示取 出次品的件数，求 X 的分布律. 2、随机变量 X 的分布律为 { = } ! k C P X k k = （ k = 0,1,2, ; 0 ）， 试确定常数 C. 3.一个篮球运动员的投篮命中率为 45%.X 表示他首次投中时累计已投篮次数，（1）求 X 的分布律；（2）计算 X 取偶数的概率. 4.设随机变量 X 的概率密度为 , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0, x x f x x x = − 其它. 求 X 的分布函数 F(x). 5. 设随机变量 X 的分布函数为 0, 1 ( ) ln , 1 , 1, X x F x x x e x e = （1）求 P X{ 1} ， P X {0 3} ； （2）求概率密度 ( ) X f x . 6.在区间 [0,5] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在 [0,5] 中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例.试求 X 的分布函数. 7. 设随机变量 X 的分布律为 2 求Y X = 的分布律. 8.设 x 为连续随机变量，其分布密度为 X -2 -1 0 1 3 k p 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30
0≤x≤1,ax,a,1<x≤2,f(x)=2<x≤3,-ax +3a,0,其他.（1）确定a值；（2）若X，X2，是对X的三次独立观测值（观测值从理论上可看成与X同分布的随机变量）求三个观测值中恰有一个大于1.5的概率t9.某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数×服从参数为一的泊松分2布，而与时间间隔的起点无关（时间的单位：小时）：（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率：（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率10.检查测高器的精确性，结果表明误差不超过土2.5米的情况占所有情况的90%，若已知测高器的误差服从N(O,α)，求的值11.若X~ N(0,5°), 求P(1<X2<4)12.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N(110,12~）.在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压x求（1)P(X≥110)，P(100<X≤120)：(2）确定最小的x，使得P(X>x)≤0.05设X~N(3,2），求（1）PX>2)，（2）确定℃使得(1)P(X >c)= P(X≤c)[ox≤014.求分布函数F(x)=Ax20<x<1，中的常数及随机变量X的密度函数[x≥115.某商店出售某种高档商品，根据以往经验，每月销售量×服从入=3的泊松分布.问在月初进货时要库存此商品多少件，才能以99%的概率满足顾客的需要，16对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在[a,b]内，求球体积的概率分布.17.设X～N(u,α），×的概率密度为
, 0 1, , 1 2, ( ) 3 , 2 3, 0 ax x a x f x ax a x = − + ， 其他. （1）确定 a 值； （2）若 1 2 3 x x x , , 是对 x 的三次独立观测值（观测值从理论上可看成与 x 同分布的随机 变量）.求三个观测值中恰有一个大于 1.5 的概率. 9.某一公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 2 t 的泊松分 布，而与时间间隔的起点无关（时间的单位：小时）. （1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率. 10.检查测高器的精确性，结果表明误差不超过 2.5 米的情况占所有情况的 90%，若已 知测高器的误差服从 2 N(0, ) ，求 的值. 11.若 2 X N(0,5 ) ，求 2 P X (1 4) . 12.某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mm-Hg 计）服从 2 N(110,12 ).在该地 区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X.求（1） P X{ 110} ，P X {100 120} ； （2）确定最小的 x ， 使得 P X x { } 0.05 . （1） 设 2 X N(3,2 ) ，求（ 1 ） P X{ 2} ； （ 2 ）确定 c 使 得 P X c P X c { } { } = . 14. 求分布函数 ( ) = 1 0 2 F x Ax 1 0 1 0 x x x ，中的常数及随机变量 X 的密度函数. 15.某商店出售某种高档商品，根据以往经验，每月销售量 X 服从 = 3 的泊松分布.问 在月初进货时要库存此商品多少件，才能以 99%的概率满足顾客的需要. 16 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在 [ , ] a b 内，求球体积的概率分布. 17.设 2 X N( , ) ，X 的概率密度为
x2-4.x+k232f(x)=ke试求k,k，μ,o的值418.设C在（0，5）服从均匀分布，求x的方程4x2+4Cx+C+2=0有实根的概率.19.设X在（-1,1)上服从均匀分布，求Y=4-X2的概率密度20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分记）服从指数分布，其概率密度为15evsx>0,fx(x)=)0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律，并求出P(Y≥1)21.连续随机变量x的分布密度函数f(x)=3x2，-1≤x≤0，对任一数b6(-1<b<0), 计算P(X>b)X<2
2 2 4 32 1 ( ) x x k f x k e − + − = , 试求 1 2 k k, , , 的值. 18.设 C 在（0，5）服从均匀分布，求 x 的方程 2 4 4 2 0 x Cx C + + + = 有实根的概率. 19.设 X 在 ( 1,1) − 上服从均匀分布，求 2 Y X = −4 的概率密度. 20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分记）服从指数分布，其概率密度为 1 5 , 0 ( ) 5 0, . x X e x f x − = ， 其它 某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个 月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出 Y 的分布律，并求出 P Y{ 1} . 21. 连续随机变量 x 的分布密度函数 2 f x x ( ) 3 = ， − 1 0 x ，对任一数 b （ − 1 0 b ），计算 2 b P X b X
总习题二详解1、解：×的所有可能取值为0, 1,2,且P(X=0)==AA_12,P(X=1)=4As35As35AA-1P(X = 2) :所以x的分布律为35AsX1202212P1353535"cakok2k2、解：由离散型随机变量分布律的归一性得，1，即C而厂K k!ok!k=o k!所以C=e（这里之芸Dx得到的，e是利用f(x)=e的幂级数展开式erK=0 k!Ko k!请查阅《微积分》教材第九章的第4节中的例4）3、解：（1）×的所有可能取值为：1，2，3，..。k..且P(X=I)=0.45，P/X =2)=(1-0.45)×0.45, P(X =3)=(1-0.45)×0.45=(0.55)×0.45, .P(X=k)=(1-0.45)*-1×0.45=(0.55)*-1×0.45，.，故x的分布律为P(X =n) = (0.55)k- ×0.45,(k =1,2,3..)(2)所求为P(X=2k)=0.45[0.55+(0.55)+(0.55)*+.+(0.55)2k-1 +..]k=1=0.45×0.55[1+(0.55)? +(0.55)* +..+(0.55)2(k-1) +.. ]1-[(0.55)jk0.45x0.5511=0.45x0.55lim1-(0.55)2—1-(0.55)2-310,x<0 tdt,0≤x<14 、解：由 F(x)=f(l)dt 得F(x)=即tdt+(2-t)dt,1≤x<2Jtdt+['(2-1)dt, x≥2
总习题二详解 1、解：X 的所有可能取值为 0，1，2，且 3 13 3 15 22 { 0} 35 A P X A = = = ， 1 2 2 13 3 15 12 { 1} 35 A A P X A = = = ， 2 1 2 13 3 15 1 { 2} 35 A A P X A = = = ，所以 X 的分布律为 X 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 2、解：由离散型随机变量分布律的归一性得， 0 1 ! k k C k = = ，即 0 1 ! k k C k = = ，而 0 ! k k e k = = 所以 C e = （这里 0 ! k k e k = = 是利用 ( ) x f x e = 的幂级数展开式 0 ! k x k x e k = = 得到的， 请查阅《微积分》教材第九章的第 4 节中的例 4）. 3、解：（1）X 的所有可能取值为：1，2，3，．．．k．．．且 P X{ 1} 0.45 = = ， P X{ 2} (1 0.45) 0.45 = = − ， 2 2 P X{ 3} (1 0.45) 0.45 (0.55) 0.45 = = − = ，．．．， 1 1 { } (1 0.45) 0.45 (0.55) 0.45 k k P X k − − = = − = ，．．．，故 X 的分布律为 1 { } (0.55) 0.45,( 1,2,3.) k P X n k − = = = （2）所求为 3 5 2 1 1 { 2 } 0.45[0.55 (0.55) (0.55) . (0.55) .] k k P X k − = = = + + + + + 2 4 2( 1) 0.45 0.55[1 (0.55) (0.55) . (0.55) .] k− = + + + + + 2 2 2 1 [(0.55) ] 0.45 0.55 11 0.45 0.55lim 1 (0.55) 1 (0.55) 31 k k→ − = = = − − 4 、解：由 ( ) ( ) x F x f t dt − = 得 0 1 0 1 1 2 0 1 0, ,0 1 ( ) (2 ) ,1 2 (2 ) , 2 x x x tdt x F x tdt t dt x tdt t dt x = + − + − 即