长春大学旅游学院教师教案20132014学年第二学期）课程名称：高等数学（线性代数）朱天晓任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 二 学期） 课 程 名 称： 高等数学（线性代数） 任 课 教 师： 朱天晓 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章 行列式教学基本要求：（1）了解行列式的定义，掌握行列式的性质。（2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。重点：行列式的性质：行列式按行（列）展开定理。第一节n阶行列式的定义、二阶行列式和三阶行列式1．二阶行列式(1)[a +a2x2 =b,二元线性方程组(2)[a2i,+a22x2=b,用加减消元法求得[(aua22 -ai2a21)x, = b,a22 -b,a12((aia22 -a12a21)x2 =b,a1 -b,a21引入行列式的b,a22 -b,a12X概念，帮助学生aiia22 —a12a21即(*)b,a-b,a21简化（*）的记Xaia22 —ai2a21忆定义1由22个数α,(i,j=1,2,3)构成的如下算式ana12=a22-a221叫做二阶行列式.记作D，a21a222页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页 第一章 行列式 教学基本要求： （1）了解行列式的定义，掌握行列式的性质。 （2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。 重点: 行列式的性质；行列式按行（列）展开定理。 第一节 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式和三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组 + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用加减消元法求得 定义 1 由 2 2 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 叫做二阶行列式.记作 D， 引 入 行 列 式 的 概 念 ，帮 助 学 生 简化（ * ）的记 忆 − = − − = − 11 22 12 21 2 2 11 1 21 11 22 12 21 1 1 22 2 12 ( ) ( ) a a a a x b a b a a a a a x b a b a 1 22 2 12 1 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 ( ) b a b a x a a a a b a b a x a a a a − = − − = − 即
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容anai2(1)即D==22-1221aaa22主对角线元素乘积取正号，次（1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中ai，αi2，α21，22，叫做对角线元素乘这个二阶行列式的元素，且a,(i=1,2;j=1,2)表示行列式D中第i行第j列积取负号的元素.（1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。2.三阶行列式定义2由32个数a,(i,j=1,2,3)构成的如下算式a23a23a21a22=a223+23+a3232[a3a32a33aa23a2a22a33-a231叫做三阶行列式，记为D，即a2i3对角线法则仅适D=a21 a22a23=aa223+223a1+a13232用于二、三阶行列a31ag2a33式g22122i3-232上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是6项的代数和，且每一项都是位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积.1０4例D=2 -1 2=14-130二、n阶行列式的定义在三阶行列式D分别划去元素αi，αi2，α3所在的行和列，把剩下的由三阶行列式元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下引入展开法则a22a23a23a2ia22a21a33aalas2a32aaas第3页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − （1） （1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中 11 a ， 12 a ， 21 a ， 22 a ，叫做 这个二阶行列式的元素，且 a (i =1,2; j =1,2) ij 表示行列式 D 中第 i 行第 j 列 的元素. （1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。 2. 三阶行列式 定义 2 由 2 3 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 叫做三阶行列式，记为 D ，即 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是 6 项的代数和，且每一项都是 位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积. 例 1 3 0 2 1 2 1 0 4 − D = − =14 二、n 阶行列式的定义 在三阶行列式 D 分别划去元素 11 a ， 12 a ， 13 a 所在的行和列，把剩下的 元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下 32 33 22 23 a a a a ， 31 33 21 23 a a a a ， 31 32 21 22 a a a a 主 对 角 线 元 素 乘 积 取 正 号 ，次 对 角 线 元 素 乘 积取负号 对角 线法则仅适 用于二、三阶行列 式 由 三 阶 行 列 式 引入展开法则
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计将它们依次叫做元素a，ai2，ag,的余子式，记为Mn，Miz2，Ms，即a2a23a2123a21a22M13=Mu=M/2=a32a33a31a33a31a32记 A =(-1)l*I M, A2 =(-1)*2 Mi2 A13 =(-1)l+3 M13 , 将 A1, A2 , A13分别叫做元素ai，a2，αi3的代数余子式一般地，三阶行列式D中元素a,的余子式是是指将D中第i行，第j列注意M,与Aij的各元素划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为M，而αa,的代区别数余子式为 A,=(-1)*" M,(i,j=1,2,3).定义3由n?个数组成的如下算式aa2..na21a22a2r=aA,+a2A2+...+anAaman2a..叫做n阶行列式，记作D，即较难理解，速度Jaai2.an放慢a21a22a=aiAt+a242 +.+anA,=Za,A,D=j=lanan2.amm其中A,是元素a,j=1,2,n)的代数余子式例计算四阶行列式D的值X0-2020采用不同行D05-10（列）展开300630-4解：a2=0,ai4=0,A=(-1)*0 50=18=90, A3006
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 将它们依次叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的余子式，记为 M11，M12，M13 ，即 32 33 22 23 11 a a a a M = ， 31 33 21 23 12 a a a a M = ， 31 32 21 22 13 a a a a M = 记 11 1 1 11 A ( 1) M + = − ， 12 1 2 12 A ( 1) M + = − ， 13 1 3 13 A ( 1) M + = − ，将 A11，A12 ，A13 分别叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的代数余子式 一般地，三阶行列式 D 中元素 aij 的余子式是是指将 D 中第 i 行，第 j 列 各元素划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为 Mij .而 aij 的代 数余子式为 = (−1) ( , =1,2,3) + A M i j ij i j ij . 定义 3 由 2 n 个数组成的如下算式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = + ++ 叫做 n 阶行列式，记作 D ，即 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a D 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = = + ++ = = n j a j A j 1 1 1 其中 A1 j 是元素 ( 1,2, , ) a1 j j = n 的代数余子式. 例 计算四阶行列式 D 的值 3 0 0 6 1 0 5 0 2 3 0 4 4 0 2 0 − − − D = 解： 0, 0, a12 = a14 = 18 3 0 6 1 0 0 2 3 4 90, ( 1) 0 0 6 0 5 0 3 0 4 ( 1) 1 3 13 1 1 11 − = − = = − − = − + + A A 注 意 M ij 与 Aij 的 区别 较 难 理 解 ，速 度 放 慢 采用不同行 （列）展开
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计所以由定义3得D=4×90-2×18=324例计算n阶行列式D的值（D叫做下三角行列式）0aua300000a21a22a44..a43,.=ajia(-1)/D:.=aa22a33*ammaalan2aunJan3an4..ann...3-1 2|3-51例DT=求Al +Ai2 +A3 +A14,2011-53稍难，可选讲-3-或留做思考题解Au+Ai2+A3+A1432-4第二节n阶行列式的性质ainaa2注意：行列式的a2azna21将n阶行列式D=定义不适合计aniamnan2.算行列式的值，因此有必要探的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式讨其性质a1a21anlai2a22.an2DT=anaan..amn称DI为行列式D的转置行列式.显然D也是D的转置行列式，于是也称D与DI互为转置行列式.性质1行列式转置后其值不变，即D=DT由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立第5页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 所以由定义 3 得 D = 490−218 = 324 例 计算 n 阶行列式 D 的值（ D 叫做下三角行列式） an an ann a a a D . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 = nn n n nn a a a a a a a a a a = a a − = = + 11 22 33 3 4 43 44 33 1 1 11 22 . . . . . . 0 0 . 0 ( 1) T 11 12 13 14 11 12 13 14 3 1 1 2 5 1 3 4 . A A A A , 2 0 1 1 1 5 3 3 1 1 1 1 1 1 0 5 A A A A 4 1 3 1 3 2 4 1 3 D − − − = + + + − − − − + + + = = − − − − 例 求 解 第二节 n 阶行列式的性质 将 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = 的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式 n n nn n n T a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 12 22 2 11 21 1 = 称 T D 为行列式 D 的转置行列式.显然 D 也是 T D 的转置行列式，于是也称 D 与 T D 互为转置行列式. 性质 1 行列式转置后其值不变，即 T D = D . 由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立. 稍难，可选讲 或留做思考题 注 意 ：行 列 式 的 定 义 不 适 合 计 算行列式的值， 因 此 有 必 要 探 讨其性质