第一章函数与极限总习题、自测题及其详解
第一章 函数与极限 总习题、自测题及其详解
总习题一1．设f(x)的定义域是闭区间[0,1]，求下列函数的定义域.() f(x+3) ;(2) f(e) :(3) f(lnx),[0,x≤0,,求Lf(x))设f(x)=2.[x,x>0.x+313用定义证明lim2x=2.x-→2(x2 -1) = 44：用定义证明limr-→1x-15.填空题(1)若f(x)=3x2-5，则f(sinx)=条件：(2)数列x收敛是数列x,有界条件：(3)对函数f(x)，f(x)及f(x)都存在且相等是limf(x)存在x-x+a存在，则a=(4）已知limx-2x2 +1b=(5)若lim(ax-b)=0，则a=x+1k(6)若 lim(1+)"=3,则k=x[x2-2xx0在x=0处连续则a=(7)若函数f(x)=xla,x=02L的可去间断点，若使f(x)在x=2处连续，则(8)x=2 是函数f(x)=x-2f(2)=(9)当×→1时函数(x)=(2x+3)→5，间等于多少使0x-1k时，1f(x)-5k0.01?
总习题一 1. 设 f x( ) 的定义域是闭区间 [0,1] ，求下列函数的定义域. ⑴ f x( 3) + ； ⑵ ( )x f e ； ⑶ f x (ln ) . 2. 设 0, 0; ( ) , 0. x f x x x = 求 f f x [ ( )]. 3 *. 用定义证明 3 1 lim x 2 2 x → x + = . 4 *. 用定义证明 2 1 2( 1) lim 4 x 1 x → x − = − . 5. 填空题 ⑴若 2 f x x ( ) 3 5 = − ，则 f x (sin ) = _； ⑵数列 n x 收敛是数列 n x 有界_条件； ⑶对函数 f x( ) ， 0 f x( ) − 及 0 f x( ) + 都存在且相等是 0 lim ( ) x x f x → 存在_条件； ⑷已知 2 2 lim x 2 x x a → x − + − 存在，则 a = _； ⑸若 2 1 lim( ) 0 x 1 x ax b → x + − − = + ，则 a = _ b = _； ⑹若 lim(1 ) 3 x x k → x + = ，则 k =_； ⑺若函数 2 2 , 0 ( ) , 0 x x x f x x a x − = = 在 x = 0 处连续则 a = _； ⑻ x = 2 是函数 2 2 ( ) 2 x x f x x − = − 的可去间断点，若使 f x( ) 在 x = 2 处连续，则 f (2) =_； (9)* 当 x →1 时函数 f x x ( ) (2 3) 5 = + → ， 问 等 于 多 少 使 0 | 1| − x 时 ， | ( ) 5| 0.01 f x − ？
6.选择题(1)函数f(x)=xsinx是(A)奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数(2)当x→0时f(x)=sin3x与x比较，它是x的无穷小：（A）高阶（B）等价（C）低阶（D）同阶但非等阶x+1(3)设f(x)=则x=0是f(x)x+x（B）连续点（A）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点(4)若函数f(x)在x=0处连续，则limf(x)=x→0(A) 0（B）不存在(C) 1(D) f(O)(5)已知f(3x+1)=1-x2，则(x)=(B)1-3x2(A) 1-(3x +1)2(C)1-- x2 + 2x)(D) =(2-37.求下列极限(x-1)?21(1) lim (2) lim(x-11n(3) lim(Vx2+x+1-Vx2-x+1)2T2(4) lim((5) limx+IYx->0 sinxx-sinx(6) lim(1(7)limx+cos.xV2x+1-3(9) lim((8) limVx-2-V2r-04tanx-sinx2x+(0) lima) lim(x32xx→0ro2°+3*-2(3) lim(1 +2x)sinx2)limx→0xX21n(4) lim(n+元n2+2元n?+n元111(a5) lim(1x22×3(n-l)xn
6. 选择题 ⑴函数 f x x x ( ) sin = 是_； (A)奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 ⑵当 x → 0 时 f x x ( ) sin3 = 与 x 比较，它是 x 的_无穷小； （A）高阶 （B）等价 （C）低阶 （D）同阶但非等阶 ⑶设 2 1 ( ) x f x x x + = + ，则 x = 0 是 f x( ) _； （A）可去间断点 （B）连续点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点 ⑷若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，则 0 lim ( ) x f x → = _； （A）0 （B）不存在 （C）1 （D） f (0) ⑸已知 2 f x x (3 1) 1 + = − ，则 f x( ) =_； （A） 2 1 (3 1) − +x （B） 2 1 3 − x （C） 1 2 1 ( ) 3 x − − （D） 1 2 (2 2 ) 3 − + x x 7. 求下列极限 ⑴ 2 3 1 ( 1) lim x 1 x → x − − ； ⑵ 2 2 2 1 2 lim( ) n n → n n n + + + ； ⑶ 2 2 lim ( 1 1) x x x x x →+ + + − − + ； ⑷ 2 1 1 2 lim( ) x→− x x 1 1 + + − ； ⑸ 0 1 lim sin x x e → x − ； ⑹ 2 1 lim(1 )x x x − → − ； ⑺ sin lim cos x x x → x x − + ； ⑻ 4 2 1 3 lim 2 2 x x → x + − − − ； ⑼ 1 0 3 lim( ) 3 x x x → − ； ⑽ 3 0 tan sin lim x x x → x − ； ⑾ 2 3 2 lim( ) 2 x x x x + → + ； ⑿ 0 2 3 2 lim x x x→ x + − ； ⒀ 1 sin 0 lim(1 2 ) x x x → + ； ⒁ 2 2 2 1 2 lim( ) n 2 n → n n n n + + + + + + ； ⒂ 1 1 1 lim( ) 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + − ；
secx-1(7)lim/1-5x(6)limx2x→0-→02x(18) lim1-02# +18.判断f(x)=ln(x+/1+x2)的奇偶性9证明奇函数与偶函数的乘积是奇函数10.证明f(x)=xe在(0,+oo)内单调递增11.设f(x)=x，求f(0+△r)-f(0)x?+ax+b=5，求a，b的值.12.设lim1 x→13.解答下列各题[1 μ≤1(1)设f(x)=，求ff(x);[0 ≥>1′(2)已知f(x)=sin x，[g(x)=1-x2，求函数p(x)的表达式及其定义域；2x(3)求 lim xsin x2 +1r(4)求 lim tan xsinx(5)已知当x→0时，(1-cosx)ln(1+x）是比xsinx"高阶的无穷小量，而xsinx"是比(e-1)高阶的无穷小量，求正整数n的值；(6)设x=10，xn+1=/6+x，（n=1,2,3.)，证明数列x极限存在，并求此极限；Y(7)已知lim=-l，求a的值；2°+3*+4(8)求 lim3sinx(9)已知lim(cosx-b)=5，求a及b的值；0pl
⒃ 2 0 sec 1 lim x x → x − ； ⒄ 0 lim 1 5 x x x → − ； ⒅ 1 1 0 2 1 lim 2 1 x x x → + − + . 8. 判断 2 f x x x ( ) ln( 1 ) = + + 的奇偶性. 9. 证明奇函数与偶函数的乘积是奇函数. 10. 证明 ( ) x f x x e = 在 (0 ) ，+ 内单调递增. 11. 设 f x x ( ) | | = ，求 f x f (0 ) (0) + − . 12. 设 2 1 lim 5 x 1 x ax b → x + + = − ，求 a ，b 的值. * 13 . 解答下列各题 (1)设 = 0 1 1 1 ( ) x x f x ，求 f { f [ f (x)]} ； (2)已知 f (x) = sin x ， 2 f[(x)] =1− x ，求函数 (x) 的表达式及其定义域； (3)求 1 2 lim sin 2 → x + x x x ； (4)求 − → x x x x 1 sin 1 lim tan 0 ； (5)已知当 x →0 时， (1 cos )ln(1 ) 2 − x + x 是比 n xsinx 高阶的无穷小量， 而 n xsinx 是比 ( 1) 2 − x e 高阶的无穷小量，求正整数 n 的值； (6)设 x1 =10， n n x = + x +1 6 (n =1,2,3) ，证明数列 n x 极限存在，并求此极限； (7)已知 0 1 1 lim 1 x x e → x x a − = − − ，求 a 的值； (8)求 x x x x x 1 0 3 2 3 4 lim + + → ； (9)已知 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，求 a 及 b 的值；
1-x2n(10)求函数f(x)=lim×的间断点，并指出其类型-1+x2n（这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家学习参考）14.运输公司规定货物的吨/公里的运价为：在a公里内，每公里k元；超过a公里，超出4的部分每公里为试建立运价M和里程S之间的函数关系式-k;5
(10)求函数 x x x f x n n n 2 2 1 1 ( ) lim + − = → 的间断点，并指出其类型. （这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家学习参考.） 14. 运输公司规定货物的吨/公里的运价为：在 a 公里内，每公里 k 元；超过 a 公里，超出 的部分每公里为 5 4 k；试建立运价 M 和里程 S 之间的函数关系式