第三章中值定理与导数的应用总习题、自测题及其详解
第三章 中值定理与导数的应用 总习题、自测题及其详解
总习题三a-b<a-ba1.若0<b≤a，试证Inbbax<In(1+x)<x.2.若x>0，试证1+ x3.证明：当a>b>0时，不等式nb"-'(a-b)<a"-b"<na"-"(a-b)在n>1时成立4.求下列极限tanx-x(1) lim(2) limx-0 cosx-1x-0 x-sinxInsinxIn tan 7x(3) limlim(4)2x)x-0+lntan2xT1元X(6) lim x1(5) lim(1-x)taner2x→X-→0021limlim(7)(8)1nxInx(10) lim (cot xlim(9)1mr-0x-→0+X(12) lim x in(e*-I)(11) lim (cosx)2x-→0*X-→5.证明y=/2x-x2在区间(0,1)上单调增加，而在区间(1,2)上单调减少6.求下列函数的单调区间.(2) y=2x2-lnx :(1) y=x-er :(3) y=x-ln(1+x) 7.证明下列不等式的正确性当x>0时，有1+xln(x+/1+x)>/1+x
总习题三 1. 若 0 b a ，试证 ln a b a a b a b b − − . 2. 若 x 0 ，试证 ln(1 ) 1 x x x x + + . 3. 证明：当 a b 0 时，不等式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 在 n 1 时成立. 4.求下列极限. (1) 0 tan lim x sin x x → x x − − ； (2) 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − ； (3) 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ； (4) 0 ln tan 7 lim x ln tan 2 x x → + ； (5) 1 lim(1 ) tan x 2 x x → − ； (6) 1 lim 1 x x x e → − ； (7) 2 1 2 1 lim x→ x x 1 1 − − − ； (8) 1 1 lim x ln ln x → x x − ； (9) tan 0 1 lim x x x → + ； (10) ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ； (11) ( ) 2 2 lim cos x x x − − → ； (12) 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → ． 5. 证明 2 y x x = − 2 在区间 (0,1) 上单调增加，而在区间 (1, 2) 上单调减少. 6. 求下列函数的单调区间. (1) x y x e = − ； (2) 2 y x x = − 2 ln ； (3) y x x = − + ln(1 ) ． 7. 证明下列不等式的正确性. 当 x 0 时，有 2 2 1 ln( 1 ) 1 + + + + x x x x
8.求下列函数的极值.(1) y2Inx：(2) y=xex(4) y=(x-1)(2x+3)2(3)lnx9.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值(1) y=x+2/x(0≤x≤4)(2) y=±-1(0≤x≤4)x+1元(3)y=sin2x-x2元tan1210°. 求lim- In(1 - x)er-esinx11. 求limr-0 x-sinx12. 求limx-x 1n(1+er+e13° 求lim（1991年数学三）x->0n14°已知f(x）在（-o0,+oo）内可导，且limf(x)=ex+elim=lim[f(x)-f(x-1)], 求c的值。 (2001 年数学三)15°设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在E(0,3)，使f()=0.（2003年数学三)提示：使用最值定理、介值定理和罗尔定理
8. 求下列函数的极值. (1) 2 y x x = ln ； (2) 2 x y x e − = ； (3) ln x y x = ； (4) 3 2 y x x = − + ( 1) (2 3) ． 9. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值. (1) y x x = + 2 (0 4) x ； （2） 1 1 x y x − = + (0 4) x ； (3) y x x = − sin 2 ( ) 2 2 x − ． * 10 . 求 1 tan 2 lim x ln(1 ) x x → − − . * 11 . 求 sin 0 lim sin x x x e e → x x − − . * 12 . 求 2 1 lim ln(1 ) x x x → x − + . * 13 求 1 2 0 lim x x nx x x e e e → n + + + .（1991 年数学三） * 14 已 知 f x( ) 在 ( , ) − + 内 可 导 ， 且 lim ( ) x f x e → = ， lim lim ( ) ( 1) x x x x c f x f x → → x c + = − − − ，求 c 的值. （2001 年数学三） * 15 设 f x( ) 在 [0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且 f f f (0) (1) (2) 3 + + = ， f (3) 1 = ，试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) 0 = .（2003 年数学三） 提示：使用最值定理、介值定理和罗尔定理
总习题三详解a_a-ba-b1.若0<b≤a，试证<lnbba-b_a-b1Ina-Inb1aa分析：首先将不等In写为<bbba-baaIna- lnb可以想到，对函数f(x)=lnx，在区间[b,a|上应用拉格朗日中值定理由a-b证明：根据题意，设函数f(x)=lnx，则其在[b,a上连续，(b,a)内可导(O<b≤α)，故其满足拉格朗日中值定理条件，所以有f(a)- f(b)= f' (E)(a-b)1Ina-Inb==(a-b)(b<=<a),即EIna-Inb 1Ta-b11Ina-Inb111因此有因为b<<a，所以b56a-baaa-ba-ba2<ln (b<=<a)即1bba当a=b时等式成立，故有a-b<a-ba<nbbax<In(1+ x)< x2.若x>0，试证1+xIn(1 + xx分析：由于x>0时<ln(1+x)<x可表示为X1+x1+xxIn(1 + x)容易想到，对函数f(t)=ln(1+t)，在[0,x]区间上应用拉格朗日中值x定理.证明：设函数f(t)=ln(1+t)，则其在[0,x|上连续，在(0,x)内可导，故其满足
总习题三详解 1. 若 0 b a ，试证 ln a b a a b a b b − − . 分析：首先将不等式 ln a b a a b a b b − − 写为 1 ln ln 1 a b a a b b − − ， 由 ln ln a b a b − − 可以想到，对函数 f x x ( ) ln = ，在区间 b a, 上应用拉格朗日中值定理 证明：根据题意，设函数 f x x ( ) ln = ，则其在 b a, 上连续， ( , ) b a 内可导 (0 ) b a ，故其满足拉格朗日中值定理条件，所以有 f a f b f a b ( ) ( ) ( )( ) − = − ， 即 1 ln ln ( ) ( ) a b a b b a − = − ， ln ln 1 a b a b − = − ， 因为 b a ，所以 1 1 1 a b ，因此有 1 ln ln 1 a b a a b b − − ， 即 ln a b a a b a b b − − （ b a ）. 当 a b = 时等式成立，故有 ln a b a a b a b b − − . 2. 若 x 0 ，试证 ln(1 ) 1 x x x x + + 分析：由于 x 0 时 ln(1 ) 1 x x x x + + 可表示为 1 ln(1 ) 1 1 1 x x x + + ，由 ln(1 ) x x + 容易想到，对函数 f t t ( ) ln(1 ) = + ，在 0, x 区间上应用拉格朗日中值 定理. 证明：设函数 f t t ( ) ln(1 ) = + ，则其在 0, x 上连续，在 (0, x) 内可导，故其满足
拉格朗日中值定理条件，所以有f(x)-f(0)= f'(5)(x-0)(0<≤<x),1In(1+x)-In1= f ()x=即x1+5ln(x + 1)11+5x11ln(x+1)<1,从而当x>0时1因为0<=<x，所以1+Ex+1x+1x有x<In(1 + x)<x.1+x3．证明：当α>b>0时，不等式nb"-"(a-b)<a"-b"<na"-(a-b)在n>1时成立3.分析：由不等式nb"-l(a-b)<a"-b"<na"-l(a-b)可表示为a"-b"nb"-1<na"-1，容易想到，对函数f(x)=x"，在区间[b,al上应用拉格(a-b)朗日中值定理证明：设函数f(x)=x"，则此函数在区间[b,a|上连续，在(b,a)内可导，故其满足拉格朗日中值定理条件，所以有f(a)- f(b)=a" -b" = f'()(a-b)=n"-l(a-b) (n>1, b<5<a),a"-b"α-β =ng"(n>1),即有因为b<=<a,n>l,所以b"-l <="-l <a"-,nb"-l <n="-l <na"-l,a"-b"nb"-1<na"-1因此，a-b即
拉格朗日中值定理条件，所以有 f x f f x ( ) (0) ( )( 0) − = − (0 ) x ， 即 1 ln(1 ) ln1 ( ) , 1 x f x x + − = = + ln( 1) 1 1 x x + = + ， 因为 x ，所以 1 1 1 x 1 1 1 + + ， 1 ln( 1) 1 x x x + + ，从而当 x 0 时 有 ln(1 ) 1 x x x x + + ． 3. 证明：当 a b 0 时，不等式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 在 n 1 时成立. 3. 分 析 ： 由 不 等 式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 可表示为 1 1 ( ) n n n n a b nb na a b − − − − ，容易想到，对函数 ( ) n f x x = ，在区间 b a, 上应用拉格 朗日中值定理. 证明：设函数 ( ) n f x x = ，则此函数在区间 b a, 上连续，在 (b a, ) 内可导，故其满 足拉格朗日中值定理条件，所以有 ( ) ( ) ( )( ) n n f a f b a b f a b − = − = − = 1 ( ) n n a b − − （ n 1，b a ）， 即有 ( ) 1 1 n n a b n n n a b − − = − ， 因为 b a ， n 1 ，所以 1 1 1 1 1 1 , n n n n n n b a nb n na − − − − − − ， 因此， 1 1 n n n n a b nb na a b − − − − ， 即