第一章随机事件及其概率总习题、自测题及其详解
第一章 随机事件及其概率 总习题、自测题及其详解
总习题一1.已知P(A)=0.7，P(B)=0.4，P(AUB)=0.9，则有P(AB)=P(A-B)=11， P(BIA)=, 则 P(4|B)=-P(B)=2.已知P(A)3263*设A,B,C是三个随机事件,AC,BC,P(A)=0.7,P(A-C)=0.4,P(AB)=0.5则 P(ABC)=4. 已知 P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.32.求 P(AUB)及P(AB)11,P(AB) = 0, P(AC)= P(BC)= 5. 已知 P(A)=P(B)=P(C)=，求事件A,B,C61全不发生的概率，6．从0,1,2,3…，9这10个数码中随机可重复地取出5个数码作为电话号码.求下面事件的概率：A=(5个数码全相同)：B=[5个数码全不相同);C=[5个数码中数码3出现两次),7.将数码1,2,3，.，n随机排成一列，求至少有一个数码与它占位置的号数一致的概率8*.甲袋中有9个白球与1个黑球共10个球，乙袋中只有10个白球，每次从甲、乙袋中随机的各取1个球，交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球仍在甲袋中的概率9.设A、B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB)取到最小值，最小值是多少？10.某工厂的产品合格率为0.96，而合格品中的一级品率为0.75，求该工厂产品的一级品率11.袋中有a个白球和b个红球，从中任意取一球，然后放回，并同时再放入与取出的球同色的球c个，再取出第二个球，按此手续，连续去3个球，求第一次、第二次都取红球，第三次去白球的概率12.某工厂有车床300台，各台车床发生故障的概率都是0.01，且各台车床故障的发生是相互独立的.在通常情况下，一台车床的故障可以由一名维修工人来处理。今该工厂配有3名维修工人，问1.车床发生故障而不能及时修理的概率是多少？2.若要保证不能及时修理的概率小于0.05，需要配备几名工人？13*，甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0.7，乙为0.6，试求二人试验成功次数相同的概率，14*，设每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，已知k次命中时击毁目标的概率为
总 习 题 一 1. 已 知 P(A)=0.7 ， P(B)=0.4 ， P(AB) = 0.9 ，则有 P(AB) = ， P(A− B) = . 2. 已知 2 1 P(A) = ， 3 1 P(B) = ， 6 1 P(B | A) = ，则 P(A| B) = . 3*.设 A, B,C 是三个随机事件, A C, B C, P(A) = 0.7, P(A − C) = 0.4, P(AB) = 0.5, 则 P(ABC) = _ . 4. 已知 P(A) = 0.3， P(B) = 0.4， P(A| B) = 0.32.求 P(AB) 及 P(AB) . 5. 已知 6 1 , ( ) 0, ( ) ( ) 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = P AB = P AC = P BC = ，求事件 A, B,C 全不发生的概率. 6. 从 0,1,2,3.，9 这 10 个数码中随机可重复地取出 5 个数码作为电话号码.求下面事 件的概率： A={5 个数码全相同}； B={5 个数码全不相同}; C={5 个数码中数码 3 出现两次}. 7. 将数码 1,2,3，.，n 随机排成一列，求至少有一个数码与它占位置的号数一致的 概率. 8*. 甲袋中有 9 个白球与 1 个黑球共 10 个球，乙袋中只有 10 个白球，每次从甲、乙袋 中随机的各取 1 个球，交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球仍在甲袋中的概率. 9.设 A、B 是两事件且 P A( ) 0.6 = ，P B( ) 0.7 = ，问（1）在什么条件下 P AB ( ) 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P AB ( ) 取到最小值，最小值是多少？ 10. 某工厂的产品合格率为 0.96，而合格品中的一级品率为 0.75，求该工厂产品的一级 品率. 11. 袋中有 a 个白球和 b 个红球，从中任意取一球，然后放回，并同时再放入与取出的 球同色的球 c 个，再取出第二个球，按此手续，连续去 3 个球，求第一次、第二次都取红球， 第三次去白球的概率. 12. 某工厂有车床 300 台，各台车床发生故障的概率都是 0.01，且各台车床故障的发生 是相互独立的.在通常情况下，一台车床的故障可以由一名维修工人来处理.今该工厂配有 3 名维修工人，问 1.车床发生故障而不能及时修理的概率是多少？ 2.若要保证不能及时修理的概率小于 0.05，需要配备几名工人？ 13*. 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为 0.7，乙为 0.6， 试求二人试验成功次数相同的概率. 14*. 设每次射击命中目标的概率为 p (0 p 1) ，已知 k 次命中时击毁目标的概率为
1-r（0<r<1).现在对目标进行n次射击，求目标被击毁的概率，15.在射击室里有9支枪，其中经试射的有2支，试射过的枪的命中率是0.8，未试射过的枪的命中率是0.1，今从射击室里任取一支枪，发射一次，结果命中，求“所取的枪未试射过”的概率16.一只箱子里，有n双不同型号的鞋子.从中随机取出2r只（2r<n）,求下列事件的概率：（1）没有两只同型号的：（2）恰有一双同型号的17.盒中装有5个乒乓球，其中仅有4个是新的，第一次比赛时，从中任取2个去用比赛后仍放回盒子中.第二次比赛时再从盒中任取2个球，求第二次取出的球都是新球的概率，18.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BAUB)19.从5双不总同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两配成一双的概率20.将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率21.医学资料表明，某一家3口人，患某种传染病的概率规律是：P(孩子得病)=0.6，P亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率22.现有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任选处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率23.若某种产品的废品率p=0.01，问：（1）需要取多少件产品，才能使一件废品也没有的概率≥0.95？1（2）需要取多少件产品，才能使至少出现一件废品的概率≥一？224.两个人，每个人掷三枚硬币，求“两人掷出的正面数相等”的概率25.如果二阶行列式的每一个元素都是0或1，并假定行列式各位置上的数均独立以概率1/2取0或1，求“二阶行列式的值大于0”的概率。26.已知100件产品中有10件是绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而每次使用非正品时均有0.1的可能性发生故障。现从这100件产品中随机取出一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品27.将伯努利实验独立重复n次，假定在每次实验中成功的概率为P，失败的概率为q=1一p，求“在恰有r次成功的条件下，第i次试验成功”的概率
1 − r (0 r 1) k .现在对目标进行 n 次射击，求目标被击毁的概率. 15.在射击室里有 9 支枪，其中经试射的有 2 支，试射过的枪的命中率是 0.8，未试射过 的枪的命中率是 0.1，今从射击室里任取一支枪，发射一次，结果命中，求“所取的枪未试 射过”的概率. 16.一只箱子里，有 n 双不同型号的鞋子.从中随机取出 2r 只（2r<n）,求下列事件的概率： （1）没有两只同型号的；（2）恰有一双同型号的. 17.盒中装有 5 个乒乓球，其中仅有 4 个是新的，第一次比赛时，从中任取 2 个去用， 比赛后仍放回盒子中.第二次比赛时再从盒中任取 2 个球，求第二次取出的球都是新球的概 率. 18.已知 P A( ) 0.3 = , P B( ) 0.4 = ， P AB ( ) 0.5 = ，求 P B A B ( ). 19.从 5 双不总同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两配成一双的概率. 20.将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率. 21.医学资料表明，某一家 3 口人，患某种传染病的概率规律是： P{孩子得病}=0.6，P{母 亲得病|孩子得病}=0.5，P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病 的概率. 22.现有两箱同种类的零件.第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品.今从两箱中任选处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽 样.（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第 二次取到的也是一等品的概率. 23.若某种产品的废品率 p = 0.01 ，问： （1）需要取多少件产品，才能使一件废品也没有的概率 0.95 ？ （2）需要取多少件产品，才能使至少出现一件废品的概率 1 2 ？ 24.两个人，每个人掷三枚硬币，求“两人掷出的正面数相等”的概率. 25.如果二阶行列式的每一个元素都是 0 或 1，并假定行列式各位置上的数均独立以概率 12 取 0 或 1，求“二阶行列式的值大于 0”的概率. 26.已知 100 件产品中有 10 件是绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故 障，而每次使用非正品时均有 0.1 的可能性发生故障。现从这 100 件产品中随机取出一件， 若使用了 n 次均未发生故障，问 n 为多大时，才能有 70%的把握认为所取的产品为正品. 27.将伯努利实验独立重复 n 次，假定在每次实验中成功的概率为 p ，失败的概率为 q p = −1 ，求“在恰有 r 次成功的条件下，第 i 次试验成功”的概率
总习题一详解1.解：因为P(AB)=1-P(AB),且由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB) = P(A) + P(B)- P(AUB) =0.7+0.4-0.9=0.2,所以P(AB)=1-0.2=0.8因为 A-B= AB,且(AB)U(AB)= A(BUB)= AQ= A则P[(AB)U(AB))=P(AB)+P(AB)= P(A)(AB 与 AB互不相容),于是P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.2=0.5，从而P(A- B)= P(AB)=0.5P(AB)2.解：因为P(A/B)=而由B=QB=(AUA)B得中P(B)P(B)= P[(AB)U(AB))= P(AB)+ P(AB) 于是P(AB)= P(B)-P(AB)= P(B)-P(A)P(B/A)=→-I×}=13264P(AB)_±_3所以 P(A/ B)=P(B)"1"43.解：因为ABC=AB-C，且由BC知，ABC，于是P(ABC)= P(AB-C)= P(AB)-P(C) ,再由 P(A-C)= P(A)-P(C)得P(C)= P(A)- P(A-C)= 0.7-0.4 = 0.3,所以P(ABC)= P(AB-C)= P(AB)-P(C)= 0.5-0.3 =0.24.解：因为P(AUB)=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)-P(AB))=1- P(A)- P(B)+ P(AB)
总习题一 详解 1.解：因为 P AB P AB ( ) 1 ( ) = − ,且由 P AUB P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 得 P AB P A P B P AUB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − =0.7+0.4-0.9=0.2, 所以 P AB ( ) 1 0.2 0.8 = − = 因为 A B AB − = ，且 ( ) ( ) ( ) AB U AB A BUB A A = = = 则 P AB U AB P AB P AB P A [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) = + = ( AB 与 AB 互不相容), 于是 P AB P A P AB ( ) ( ) ( ) 0.7 0.2 0.5 = − = − = ，从而 P A B P AB ( ) ( ) 0.5 − = = 2.解：因为 ( ) ( ) ( ) P AB P A B P B = ，而由 B B AU A B = = ( ) 得 P B P AB U AB P AB P AB ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) = = + ， 于是 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) 3 2 6 4 P AB P B P AB P B P A P B A = − = − = − = , 所以 1 4 1 3 ( ) 3 ( / ) ( ) 4 P AB P A B P B = = = . 3.解：因为 ABC AB C = − ，且由 B C 知， AB C ，于是 P ABC P AB C P AB P C ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − ， 再由 P A C P A P C ( ) ( ) ( ) − = − 得 P C P A P A C ( ) ( ) ( ) 0.7 0.4 0.3 = − − = − = ， 所以 P ABC P AB C P AB P C ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.3 0.2 = − = − = − = . 4.解：因为 P AUB P AUB P A P B P AB ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( ) ( )] = − = − + − = − − + 1 ( ) ( ) ( ) P A P B P AB
而P(AB)=P(B)·P(AB)=0.4×0.32=0.128所以P(AUB)=1-0.3-0.4+0.128=0.428P(AB)=1- P(AB)=1-0.128 =0.8725.解：所求为P(ABC)，而事件ABC=AUBUC因此P(ABC)=P(AUBUC)=1-P(AUBUC)=1-[P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)-P(AC)- P(BC) + P(ABC))7×3-0_1x×2+0)==1-(12A66.解：样本空间包含样本点的个数n=105，事件A、B、C包含样本点分别是K,=Clo=10,K,=Ao=10×9×8×7×6=30240,K。=C×93=40511030240=0.3024,=0.0001, P(B)=于是P(A)=10510000105405P(C)==0.004051057.解：设A={至少有一个数码与它占位置的号数一致)，A={第i个数码占据第i个位置i=1，2.n),则A=UA，于是i=lP(A)= P(U A)= P(A)+ P(A,)+..+ P(A,)- P(AA,)- P(A,A,)-..P(A,A,)-P(A,A,)-..- P(A,A,)-...- P(A--A,)+ P(A,A,A,)+ P(A,A,A,)+.+ P(A,A-A.)-..+(-1)"- P(4,A...A,)-ZP(A)- Z P(4,A,)+ Z P(4A,4)-.+(-I)"--P(AA...A,)Lel1si<j<nIsisi<ksn样本空间包含样本点个数为n!，而事件A包含样本点个数为(n-1)!，因此(n-1)!_1P(A)=-(i=1,2,..n),n!n事件A,A,包含样本点个数为（n-2)！，因此1 (n-2)!P(A,A,)=n(n-1)n!类似地，可得P(4A,4)= (n-3).P(AA...A.)=n!n!所以
而 P AB P B P A B ( ) ( ) ( ) 0.4 0.32 0.128 = • = = , 所以 P AUB ( ) 1 0.3 0.4 0.128 0.428 = − − + = , P AB P AB ( ) 1 ( ) 1 0.128 0.872 = − = − = 5.解：所求为 P ABC ( ) ，而事件 ABC AUBUC = ， 因此 P ABC P AUBUC P AUBUC ( ) ( ) 1 ( ) = = − ， = − + + − − − + 1 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 1 1 7 1 ( 3 0 2 0) 4 6 12 = − − − + = . 6.解：样本空间包含样本点的个数 5 n =10 ，事件 A、B、C 包含样本点分别是 1 5 2 3 10 10 5 10, 10 9 8 7 6 30240, 9 405 K C K A K C A B C = = = = = = = , 于是 5 10 1 ( ) 0.0001 10 10000 P A = = = ， 5 30240 ( ) 0.3024 10 P B = = ， 5 405 ( ) 0.00405 10 P C = = 7.解：设 A={至少有一个数码与它占位置的号数一致}，Ai={第 i 个数码占据第 i 个位 置}( i=1，2，．．．n),则 1 n i i A U A = = ，于是 1 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 4 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( 1) ( . ) ( ) ( ) ( ) n i n n i n n n n n n n n i i j i j k i i j n i j P A P U A P A P A P A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A P A A P A A A = − − − = = = + + + − − − − − − − − + + + + − + − = − + 1 . ( 1) ( . ) n i j n k n P A A A − − + − 样本空间包含样本点个数为 n!，而事件 Ai包含样本点个数为(n-1)!，因此 ( 1)! 1 ( ) ( 1, 2,., ) ! i n P A i n n n − = = = ， 事件 AAi j 包含样本点个数为 ( 2)! n − ，因此 ( 2)! 1 ( ) ! ( 1) i j n P A A n n n − = = − ， 类似地，可得 1 2 ( 3)! 1 ( ) ,. ( . ) ! ! i j k n n P A A A P A A A n n − = = ， 所以