长春大学旅游学院教师教案（2013—2014学年第二学期）课程名称：高等数学（线性代数）许莹任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 二 学期） 课 程 名 称： 高等数学（线性代数） 任 课 教 师： 许莹 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容2页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章行列式重点：1、明白行列式的概念，了解行列式的性质。2、能够应用行列式的性质计算行列式的值，可以通过行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。难点：1、行列式的性质的掌握。2、行列式按行（列）展开定理。第一节n阶行列式的定义、二阶行列式和三阶行列式1.二阶行列式(1)[ax +a2x =bi二元线性方程组(2)a21 +a22x, =b2通过计算二元用加减消元法求得线性方程组，给出行列式的[(auμa22-a12a21)x, =b,a22-bza12定义，引导学[(aiia22 -ai2a21)x2 = b,a-b,a21生简化（*）的b,a22 - b,ai2记忆xi :aia22 -a12a21即(*)b,au -b,a21x2aa22 -a12a21主对角线元素相乘取正号，定义1由2个数a,(i,j=1,2,3)构成的如下算式次对角线元素相乘取负号ana12=auα22-αi2α21叫做二阶行列式.记作D，a21a22lana12即D=(1)=ai22-a221a21a22（1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中am，α2，α21，α22，叫做这个二第3页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 第一章 行列式 重点： 1、明白行列式的概念，了解行列式的性质。 2、能够应用行列式的性质计算行列式的值，可以通过行列式按行（列）展开定理 计算行列式的值。 难点: 1、 行列式的性质的掌握。 2、 行列式按行（列）展开定理。 第一节 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式和三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组 + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用加减消元法求得 定义 1 由 2 2 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 叫做二阶行列式.记作 D ， 即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − （1） （1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中 11 a ， 12 a ， 21 a ， 22 a ，叫做这个二 通 过 计 算 二 元 线 性 方 程 组 ， 给 出 行 列 式 的 定 义 ， 引 导 学 生 简 化（*）的 记 忆 主 对 角 线 元 素 相 乘 取 正 号 ， 次 对 角 线 元 素 相 乘 取负号 − = − − = − 11 22 12 21 2 2 11 1 21 11 22 12 21 1 1 22 2 12 ( ) ( ) a a a a x b a b a a a a a x b a b a 1 22 2 12 1 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 ( ) b a b a x a a a a b a b a x a a a a − = − − = − 即
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容阶行列式的元素，且a,(i=1,2;j=1,2)表示行列式D中第i行第j列的元素.对角线法则只适（1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。用在求二、三阶[3x +5x = 1例1用二阶行列式求解线性方程组行列式的值[2x, +4x,=32.三阶行列式定义2由32个数a,(i,j=12,3)构成的如下算式aia13ai2a21a23=aia22a33+ai2a23ai+ai3a2ia32a2233[a31a32通过三阶行列式的分析，引2332-a22221出展开法则叫做三阶行列式，记为D，即anai3ai2D=a21a22a23=a223+2231+a232a31a32a3322—a232上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是6项的代数和，且每一项都是位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积。注意：M,同Aij104的区别2-12=14例2计算三阶行列式D=-130二、n阶行列式的定义在三阶行列式D分别划去元素au，ai2，ais所在的行和列，把剩下的元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下a22a23a21a2a21a22按行（列）展a32a33a3ia33a32a31开公式，比较难理解，因此将它们依次叫做元素au，ai2，a3的余子式，记为M，M2，M，即讲课时速度尽量放慢[a22a23a2a21a21a22Mu=Mi2 :Mi3-a32a33a3132a33a31记 A,=(-1)++ M1, Ai2 =(-1)+2 M12, A13 =(-1)+3 M13, 将A1, A12, A13第4页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 阶行列式的元素，且 a (i =1,2; j =1,2) ij 表示行列式 D 中第 i 行第 j 列的元素. （1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。 例 1 用二阶行列式求解线性方程组 1 2 1 2 3 5 1 2 4 3 x x x x + = + = 2. 三阶行列式 定义 2 由 2 3 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 叫做三阶行列式，记为 D ，即 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是 6 项的代数和，且每一项都是 位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积. 例 2 计算三阶行列式 1 3 0 2 1 2 1 0 4 − D = − =14 二、n 阶行列式的定义 在三阶行列式 D 分别划去元素 11 a ， 12 a ， 13 a 所在的行和列，把剩下的元素按原 来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下 32 33 22 23 a a a a ， 31 33 21 23 a a a a ， 31 32 21 22 a a a a 将它们依次叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的余子式，记为 M11， M12 ， M13 ，即 32 33 22 23 11 a a a a M = ， 31 33 21 23 12 a a a a M = ， 31 32 21 22 13 a a a a M = 记 11 1 1 11 A ( 1) M + = − ， 12 1 2 12 A ( 1) M + = − ， 13 1 3 13 A ( 1) M + = − ，将 A11，A12 ， A13 对角线法则只适 用在求二、三阶 行列式的值 通 过 三 阶 行 列 式 的 分 析 ， 引 出 展开法则 注 意 ：M ij 同 Aij 的区别 按 行 （ 列 ） 展 开 公 式 ， 比 较 难 理 解 ， 因 此 讲课时 速 度 尽 量 放 慢
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容分别叫做元素a，αi2’ai3的代数余子式按每一行（列）展开计算均一般地，三阶行列式D中元素α,的余子式是是指将D中第i行，第j列各元素可，选择0元素最多的那一划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为M，·而α,的代数余子式为行（列）展开最简单A, =(-1) M,(i, j =1,2,3).234例3计算三阶行列式012的第一行各元素的代数余子式570[2 3 4aia12ai301(2)0例4将下列行列式按第一行展开（1）a21a2200570a3定义3由n2个数组成的如下算式例7比较难，aa2.ain可选讲，或者a2a22..a2n=auA+ai2A2+...+ainAn留做思考题++anam2.ann叫做n阶行列式，记作D，即aai2..aina21a22.a2nD==aA.+a2A2+.+anA,=a,A,注意：由于行j=l列式的概念，anan2...anm并不适合计算行列式的值，其中A,是元素α,(j=1,2,,n)的代数余子式.所以有必要探讨行列式的性40-20质230-4例5计算四阶行列式D的值D=050.13060130-423500=18解：αi2=0,ai4=0, A=(-1)0= 90, A13 =(-1)P1J006630所以由定义3得D=4x90-2x18=324例6计算n阶行列式D的值（D叫做下三角行列式）第5页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 分别叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的代数余子式 一般地，三阶行列式 D 中元素 aij 的余子式是是指将 D 中第 i 行，第 j 列各元素 划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为 Mij .而 aij 的代数余子式为 = (−1) ( , =1,2,3) + A M i j ij i j ij . 例 3 计算三阶行列式 234 0 1 2 5 7 0 − 的第一行各元素的代数余子式 例 4 将下列行列式按第一行展开（1） 234 0 1 2 5 7 0 − ；（2） 11 12 13 21 22 33 0 0 0 a a a a a a 定义 3 由 2 n 个数组成的如下算式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = + ++ 叫做 n 阶行列式，记作 D ，即 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a D 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = = + ++ = = n j a j A j 1 1 1 其中 A1 j 是元素 ( 1,2, , ) a1 j j = n 的代数余子式. 例 5 计算四阶行列式 D 的值 3 0 0 6 1 0 5 0 2 3 0 4 4 0 2 0 − − − D = 解： 0, 0, a12 = a14 = 18 3 0 6 1 0 0 2 3 4 90, ( 1) 0 0 6 0 5 0 3 0 4 ( 1) 1 3 13 1 1 11 − = − = = − − = − + + A A 所以由定义 3 得 D = 490−218 = 324 例 6 计算 n 阶行列式 D 的值（ D 叫做下三角行列式） 按每一 行（ 列） 展 开 计算均 可，选择 0 元 素 最 多 的 那 一 行 （ 列 ） 展 开 最简单 例 7 比 较 难， 可选讲 ， 或 者 留做思考题 注意： 由 于 行 列 式 的 概 念 ， 并 不 适 合 计 算 行 列 式 的 值 ， 所 以 有 必 要 探 讨 行 列 式 的 性 质