第四章「随机变量的数字特征与极限定理总习题与详解
第四章 随机变量的数字特征与极限定理 总习题与详解
总习题四1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为X和Y，它们的概率分布律依次为2X01Y012b0.20.20.6P0.60.30.1分别计算EX和EY，从而评定他们成绩的好坏2.已知随机变量X的分布律为：X-20-12eP求X的数学期望EX3.设随机变量X的概率密度为：a0<x<1;f(x)=3 元(1+ x2)o，其它其中a为常数，求a及X的数学期望EX4.设随机变量X的分布律为：X2n11-61-2-13p求 E(X+1).5.设随机变量（X,Y）的联合概率密度为：[12y2,0≤y≤x≤];f(x,y)=[o，其它求EX，EY，E(XY).6.设连续型随机变量X的概率密度为：[3(1- x),0 < x<1:f(x)=[o，其它求Y=X"的数学期望.7.设连续型随机变量X的概率密度为：
总习题四 1. 甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 和 ，它们的概率分布律依次为： 分别计算 和 ，从而评定他们成绩的好坏. 2. 已知随机变量 的分布律为： 求 的数学期望 . 3. 设随机变量 的概率密度为： 其中 为常数，求 及 的数学期望 . 4. 设随机变量 的分布律为： 求 . 5. 设随机变量 的联合概率密度为： 求 ， ， . 6. 设连续型随机变量 的概率密度为： 求 的数学期望. 7. 设连续型随机变量 的概率密度为： X Y EX EYX X EX X = + 0 , . ,0 1; ( ) (1 ) 2 其它 x x a f x a a X EX X ( 1) 2 E X + (X ,Y) = 0 , . 12 ,0 1; ( , ) 2 其它 y y x f x y EX EY E(XY)X − = 0 , . 3(1 ),0 1; ( ) 其它 x x f x 3 Y = X X X 0 1 2 P 0.2 0.2 0.6 Y 0 1 2 P 0.6 0.3 0.1 X − 2 −1 0 2 P 3 1 6 1 4 1 4 1 X 1 2 3 P 2 1 3 1 6 1
[a+bx2,0 <x<1,f(x) :，其它03并且EX求a和b的值58.设随机变量（X,Y）的联合分布律为：X-101Y11-21-13-2121-n1-61142EX和Y的数学期望求X的数学期望EY9.设随机变量X的概率密度为：1e- (-00<x<+00),f(x) =2求EX，EX，DX的值10.设随机变量X的分布函数为f0 ,x<-1,F(x)=a+barcsinx,-1<x<1;[1 , x≥1,求a,b和 DX.11.已知随机变量X和Y服从正态分布N(1,33)和N(0,42），且X与Y的相关系数1XY，设Z-Pxy=32'求（1）Z的数学期望EZ和方差DZ：（2）X与Z的相关系数Pxz12.已知离散型随机变量X的分布律为：P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5求EX和DX？13.已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，求二项分布的参数n与p.14.设随机变量X，X,X，相互独立，其中X在[0,6]上服从均匀分布，X，服从正态分布N0,2"），X,服从参数为=3的泊松分布，记Y=X,-2X,+3X3，求DY
并且 ，求 和 的值. 8. 设随机变量 的联合分布律为： 求 的数学期望 和 的数学 期望 . 9. 设随机变量 的概率密度为： x f x e − = 2 1 ( ) （ − x + ）， 求 ， ， 的值. 10. 设随机变量 的分布函数为： 求 和 . 11. 已知随机变量 和 服从正态分布 和 ，且 与 的相关系数 ，设 ， 求（1） 的数学期望 和方差 ；（2） 与 的相关系数 12. 已知离散型随机变量 的分布律为： ， ， 求 2 EX 和 2 DX . 13. 已知随机变量 服从二项分布，且 ， ，求二项分布的参数 与 . 14. 设随机变量 相互独立，其中 在 上服从均匀分布， 服从正态分布 ， 服从参数为 的泊松分布，记 ，求 . + = 0 , . ,0 1; ( ) 2 其它 a bx x f x 5 3 EX = a b (X ,Y) X EX Y EY X EX E X DX X + − − = 1 , 1. arcsin , 1 1; 0 , 1; ( ) x a b x x x F x a,b DX X Y (1,3 ) 2 N (0,4 ) 2 N X Y 2 1 XY = − 3 2 X Y Z = + Z EZ DZ X Z XZ X P{X =1} = 0.2 P{X = 2} = 0.3 P{X = 3} = 0.5 X EX = 2.4 DX =1.44 n p 1 2 3 X , X , X X1 [0,6] X2 (0,2 ) 2 N X3 = 3 1 2 3 Y = X − 2X + 3X DY X Y −1 0 1 2 1 − 3 1 12 1 12 1 2 12 1 4 1 6 1
2*e-215.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(X=k)=(k=0,1,.),k!求随机变量Z=3X-2的数学期望16.设随机变量X服从参数为的指数分布，求P(X>VDX)17.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，求P(X=EX?).18.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，求Y与Z的相关系数Pyz·19.将长度为1的木棒随机地截成两段，求两段长度的相关系数为多少？20.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，求X和Y的相关系数PxY：21．设随机变量(X,Y)的联合分布律为：X021Y-14-14001001311201212求 Cov(X -Y,Y) 与Pxr.22.计算器在进行加法计算时，将每个加数舍人最靠近它的整数.设所有的舍人误差相互独立，且在区间（-0.5,0.5）内服从均匀分布（1）将1500个数相加，求其舍人误差总和的绝对值超过15的概率；（2)最多可有几个数相加使得舍人误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？
15. 已知离散型随机变量 服从参数为 的泊松分布，即 ( ), 求随机变量 的数学期望. 16. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，求 . 17. 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，求 . 18. 设随机变量 和 的相关系数为 ，若 ，求 与 的相关系数 . 19. 将长度为 的木棒随机地截成两段，求两段长度的相关系数为多少？ 20. 将一枚硬币重复掷 次，以 和 分别表示正面向上和反面向上的次数，求 和 的相关系数 . 21. 设随机变量 的联合分布律为： 求 与 . 22.计算器在进行加法计算时，将每个加数舍人最靠近它的整数.设所有的舍人误差相互 独立，且在区间（-0.5,0.5）内服从均匀分布.（1）将 1500 个数相加，求其舍人误差总和 的绝对值超过 15 的概率；（2)最多可有几个数相加使得舍人误差总和的绝对值小于 10 的概 率不小于 0.90？ X 2 ! 2 { } 2 k e P X k k − = = k = 0,1, Z = 3X − 2 X P{X DX } X 1 { } 2 P X = EX X Y 0.9 Z = X − 0.4 Y Z YZ 1 n X Y X Y XY (X ,Y) Cov(X −Y,Y) XY X Y 0 1 2 0 4 1 0 4 1 1 0 3 1 0 2 12 1 0 12 1
总习题四详解1、解：EX=0×0.3+1×0.2+2×0.5=1.2，EY=0×0.6+1x0.3+2×01=0.5由EX>EY知甲的成绩比乙好1门11一2、解：EX=+(-1)×-+2×--2×+0x-44336aa-dx = -arctan x3、解:由(0) =1,甲(+4=1，得a=4，于是，04元4,0<x<1f(x)=元(1+x3)o,其它()=4=EX=[,d(1+x)元（1+x2）元Jo1+，2 1n(1+x*)] = 21n2.元元4、解：由×的分布律得X2+1的分布律为L:10X? +1P111123613111所以E(X2+1)=2×==+5×=+10x236336、解: EY = EX3= [tx f(x)dx=["3x (1- x)dx =3(t.4520bb7、解：由(x)dx=1,即f(a+bx)dx=(ax+rl=1，得b=3(1-a)=a+3Ja+3(1-a)x,0<x<1于是f(x)=[o,其它再由EX=[x(x)d=x[a+3(1-a)xjdx=号 +3(1-a))43a3，得a4455
总习题四详解 1、 解： EX = + + = 0 0.3 1 0.2 2 0.5 1.2， EY = + + = 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5， 由 EX EY 知甲的成绩比乙好 2、 解： 1 1 1 1 1 2 ( 1) 0 2 3 6 4 4 3 EX = − + − + + = − . 3、 解：由 f x dx ( ) 1 + − = ，即 1 1 2 0 0 arctan 1 (1 ) 4 a a a dx x x = = = + ，得 a = 4 ，于是， 2 4 , 0 1 ( ) (1 ) 0, x f x x = + 其它 ， 1 1 2 2 2 0 0 4 2 1 ( ) (1 ) (1 ) 1 x EX xf x dx dx d x x x + − = = = + + + 2 1 0 2 2 ln(1 ) ln 2 x = + = . 4、解：由 X 的分布律得 2 X +1 的分布律为 2 X +1 2 5 10 P 1 2 1 3 1 6 所以 2 1 1 1 13 ( 1) 2 5 10 2 3 6 3 E X + = + + = . 6、解： 4 5 1 3 3 3 1 0 0 3 ( ) 3 (1 ) 3( ) 4 5 20 x x EY EX x f x dx x x dx + − = = = − = − = . 7、解：由 f x dx ( ) 1 + − = ，即 1 2 3 1 0 0 ( ) ( ) 1 3 3 b b a bx dx ax x a + = + = + = ，得 b a = − 3(1 ) ， 于是 2 3(1 ) , 0 1 ( ) 0, a a x x f x + − = 其它 再由 1 2 0 EX xf x dx x a a x dx ( ) [ 3(1 ) ] + − = = + − 4 2 1 0 3(1 ) [ ] 2 4 a a x x − = + 3 3 4 4 5 a = − = ，得 3 5 a =