组I线性无关,则必有r≤s.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法:如a1≈/0) (oB、=03/0,则=0月+0月,但B,B 线性无关,排除(A):ar1= a=B2=0|,则a1a2可由B1线性表示,但月线 性无关,排除(B):a1=月 ,a1可由B1,B2线性表示,但a1线性无 关,排除(C).故正确选项为(D 【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P409定 理11 三、(本题满分10分) In(1+ax) x<0, x- arcsin x 设函数f(x)= x=0. x>0. xsin 问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是fx)的可去间断点? 【分析】分段函数在分段点ⅹ=0连续,要求既是左连续又是右连续,即 f(0-0)=f(0)=f(0+0) 【详解】f(0-0)=lmnf(x)=l1+ax2)=m →0°x- arcsin x x0x- arcsin x fax x+01=-6a f(0+O)=lim f(x)=lim e+r-ar-l xsIn 4 lim e"+x-ax 4 lim =2a2+4
6 组 I 线性无关，则必有 r s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如 = = = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1 2 ，则 1 0 1 0 2 = + ，但 1 2 , 线性无关，排除(A)； = = = 0 1 , 0 1 , 0 0 1 2 1 ，则 1 2 , 可由 1 线性表示，但 1 线 性无关，排除(B)； = = = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1 2 ，1 可由 1 2 , 线性表示，但 1 线性无 关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定 理 11. 三 、（本题满分 10 分） 设函数 0, 0, 0, , 4 sin 1 6, , arcsin ln(1 ) ( ) 2 3 = + − − − + = x x x x x e x ax x x ax f x ax 问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 【分析】 分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即 f (0 − 0) = f (0) = f (0 + 0). 【详解】 x x ax x x ax f f x x x x arcsin lim arcsin ln(1 ) (0 0) lim ( ) lim 3 0 3 0 0 − = − + − = = → − → − → − = 1 1 3 lim 1 1 1 3 lim 2 2 0 2 2 0 − − = − − → − → − x ax x ax x x = 6 . 2 1 3 lim 2 2 0 a x ax x = − − → − 4 sin 1 (0 0) lim ( ) lim 2 0 0 x x e x ax f f x ax x x + − − + = = → + → + = 2 4. 2 2 4 lim 1 4 lim 2 0 2 2 0 = + + − = + − − → + → + a x ae x a x e x ax ax x ax x
令f(0-0)=f(0+0),有-6a=2a2+4,得a=-1或a=-2 当a=-1时,linf(x)=6=f(0),即fx)在x=0处连续 当a=2时,lnf(x)=12≠f(0),因而x=0是f(x)可去间断点 【评注】本题为基本题型,考查了极限、连续与间断等多个知识点,其中左右极限的 计算有一定难度,在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P22【例1.38-39】,《考研数学大串讲》 P15【例23】,《文登数学全真模拟试卷》数学二P3第四题 四、(本题满分9分) 设函数y=y(x)由参数方程 y=am>D所确定,求y d x I r=9 【分析】本题为参数方程求二阶导数,按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当 时,可相应地确定参数t的取值 【详解】由 2et =4t, dt 1+2Int t 1+2nt dr dy 2et 得=m_1+2ht 2(1+2ht) dt 所以 d-y d dy e dx dt dx dx 2(1+2In ()t 4t 4n2(1+2hn)2 当x=9时,由x=1+2t2及t1得t=2,故 dx2|x9-4n2(1+2hn)21m2-16(1+2h2) 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P53【例29】,《考研数学大串讲》P15【例 五、(本题满分9分) 计算不定积分 xe山 ctan x 【分析】被积函数含有根号√1+x2,典型地应作代换: x-tant,或被积函数含有反三 7
7 令 f (0 − 0) = f (0 + 0) ，有 6 2 4 2 − a = a + ，得 a = −1 或 a = −2. 当 a=-1 时， lim ( ) 6 (0) 0 f x f x = = → ，即 f(x)在 x=0 处连续. 当 a=-2 时， lim ( ) 12 (0) 0 f x f x = → ，因而 x=0 是 f(x)的可去间断点. 【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的 计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.22 【例 1.38-39】, 《考研数学大串讲》 P.15 【例 23】，《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.3 第四题. 四 、（本题满分 9 分） 设函数 y=y(x)由参数方程 ( 1) 1 2 , 1 2ln 1 2 = = + + t du u e y x t t u 所确定，求 . 9 2 2 x= dx d y 【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值. 【详解】由 t et t t e dt dy t 1 2ln 2 2 1 2ln 1 2 ln + = + = + ， t dt dx = 4 ， 得 , 4 2(1 2ln ) 1 2ln 2 t e t t et dt dx dt dy dx dy + = + = = 所以 dt dx dx dy dt d dx d y 1 ( ) 2 2 = = t t t e 4 2 1 (1 2ln ) 1 2 2 + − = . 4 (1 2ln ) 2 2 t t e + − 当 x=9 时，由 2 x = 1+ 2t 及 t>1 得 t=2, 故 . 4 (1 2ln ) 16(1 2ln 2) 2 2 2 2 9 2 2 + = − + = − = = e t t e dx d y x t 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.53 【例 2.9】, 《考研数学大串讲》P.15 【例 23】. 五 、（本题满分 9 分） 计算不定积分 . (1 ) 2 3 2 arctan dx x xe x + 【分析】 被积函数含有根号 2 1+ x ，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三