三、利用矩阵初等行变换解线性方程组 在例1的消元过程中,我们对方程组进行的初等变换 实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算,未 知量并未参与运算.因而对方程组施行的初等变换可以 用相应的矩阵的变换来表示 首先写出例1中方程组对应的增广矩阵 B=(4b)= 43-1 第一步交换B的第一行与第四行的位置, 得 43 B 2544
三、利用矩阵初等行变换解线性方程组 在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换 实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未 知量并未参与运算．因而对方程组施行的初等变换可以 用相应的矩阵的变换来表示． 首先写出例1中方程组对应的增广矩阵 ( ) − − = = 1 1 1 3 1 3 2 5 1 4 3 1 2 5 4 4 B Ab 第一步 交换 的第一行与第四行的位置， 得 B − − = 2 5 4 4 1 3 2 5 1 4 3 1 1 1 1 3 B1
第二步在B1中,第二行减去第一行,第三行减去第一行, 第四行减去第一行的2倍,得 000 第三步在B2中,第二行加上第三行后再乘以(1),得 0 第四步在B中,第三行加上第二行的4倍,第四行减去第二 行的3倍,得 000 012 0-1-2
第二步 在 中，第二行减去第一行，第三行减去第一行， 第四行减去第一行的2倍，得 B1 − − − − = 0 3 2 2 0 4 3 2 0 3 2 2 1 1 1 3 B2 第三步 在 B2 中，第二行加上第三行后再乘以（−1 ），得 − − − = 0 3 2 2 0 4 3 2 0 1 1 0 1 1 1 3 B3 第四步 在 中，第三行加上第二行的4倍，第四行减去第二 行的3倍，得 B3 − − = 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 3 B4 ； ； ；
第五步在B中,第四行加上第三行,得 B5 302 001 0000 这正是例1中最后一个方程组(阶梯形方程组)对应的增广矩 阵B3,称为行阶梯形矩阵 般地,一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件 (1)如果某一行元素全为零,那么它下方的所有行(如 果 存 在)元素也全为零; (2)如果某一行元素不全为零,并且第一个不为零的元 素位 于第列,那么它下方的所有行(如果存在 )的前个元素全为零
第五步 在 B4 中，第四行加上第三行，得 = 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 3 B5 这正是例1中最后一个方程组（阶梯形方程组）对应的增广矩 阵 B5 ，称为行阶梯形矩阵． 一 一 般 地，一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件： （ (1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如 果 存 在)元素也全为零； （ (2）如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元 素位 于第 列，那么它下方的所有行（如果存在 ）的前 个元素 全为零． i i