高斯消元法 对于一般的线性方程组,所要讨论的问题是:线性方程组 相容的条件;当线性方程组相容时,研究解的性质并且给出求 解的方法.我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程 例1解线性方程组 2x1+5x2+4x3=4 x1+4x2+3x3 x1-3x2-2x3=5 x+x2+x3=3 解第一步使第一个方程中x的系数为1.交换第一个方程 与第四个方程的位置, x1+x2+x3 可得 XI +4x2+3 2x1+5x2+4x2=4
二、高斯消元法 对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线性方程组 相容的条件；当线性方程组相容时，研究解的性质并且给出求 解的方法．我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程． + + = − − = + + = + + = 3 3 2 5 4 3 1 2 5 4 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 1 x + + = − − = + + = + + = 2 5 4 4 3 2 5 4 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 例1 解线性方程组 解 第一步 使第一个方程中 的系数为1． 与第四个方程的位置， 交换第一个方程 可得
第二步把第一个方程以下的各方程中的消去.第二个方程 减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程,第四个方程减 去第二个方程的2倍,可得 x1+x2+ 3x+2x 322 -4x2-3x 3x,+2 第三步使第二方程中的系数为1.第二个方程加上第三方程后 再乘以(-1),可得 ,+r+ 3x,+2x2=0 3x2+2x3=-2
第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去．第二个方程 减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减 去第二个方程的２倍，可得 1 x 2 2 2 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 − − = = = = + − + + − + x x x x x x x x x 第三步 使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后 再乘以（－1），可得 2 2 0 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 =− = = = + − + + − + x x x x x x x x x
第四步把第二个方程以下的方程中的都消去.第三 个方程加上第二个方程的4倍,第四个方程减去第二个方程 的3倍, x1+x2+x3=3 可得 0 第五步把第三个方程以下的方程中的x3消去.第四 个方程加上第三个方程,可得 x1+x2+x3 3020 (24) 0 第六步用“回代”方法求解.经第五步后得到的方程组(24) 与方程组(23)等价.由方程组(24)的第三个方程得x=2,代入 第二个方程得x2=-2;再把x3=2,x2=-2代入第一个方 程可得.于是
第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去．第三 个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程 的3倍， 2 x − = − = + = + + = 2 2 0 3 3 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第五步 把第三个方程以下的方程中的 消去．第四 个方程加上第三个方程，可得 3 x = = + = + + = 0 0 2 0 3 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 第六步 用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4) 与方程组(2.3)等价．由方程组(2.4)的第三个方程得 ，代入 第二个方程得 ；再把 代入第一个方 程可得．于是， x3 = 2 x2 = −2 x3 = 2, x2 = −2 可得 (2.4)
方程组(23)的解为x1=3于是,方程组(23)的解为 例1中方程组(24)称为阶梯形方程组.一般地,一个阶 梯形线性方程组应该满足如下两个条件 (1)如果方程组中某一方程的各项系数全为零,那么 它下方的所有方程(如果存在)的各项系数全为零; (2)如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零,设第一个系数不为零的项是第i项,那么此方程下 方的所有方程(如果存在)的前i项的系数全为零 例如线性方程组 3x,=6 +x2 5x,=10 0=0
方程组(2.3)的解为 3 x1 = 于是，方程组(2.3)的解为 . = − 2 2 3 3 2 1 x x x 例1中方程组(2.4)称为阶梯形方程组．一般地，一个阶 梯形线性方程组应该满足如下两个条件： （1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么 它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零； （2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下 方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零． 例如线性方程组 i i 0 3 6 0 3 2 2 4 4 3 1 2 − = = = + − − x x x x x 3 10 2 0 5 3 1 2 = = = + x x x 与
都是棘庑碮中,我们对线性方程组施行了下列 ?3坚较擎 位 翻另一个方程上 这三种变换称为线性方程组的初等变换 容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价;并且,任意一个线性方程组 定可以经过若干次适当的初等变换(如类似于例1各步使用的 初等变换)得到一个阶梯形的方程组 在例1中,我们实际上已经给出了一种求解线性方程组 的一般方法:对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变 换,使它变为等价的阶梯形方程组,从而达到求解的目 的.这种求解线性方程组的方法称为高斯( Gauss)消元法
都是阶梯形方程组 上述的消元过程中． ，我们对线性方程组施行了下列 三种变换： （ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程； （ 3） 把某一个方程的k 倍加到另一个方程上． 容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价；并且，任意一个线性方程组一 定可以经过若干次适当的初等变换（如类似于例1各步使用的 初等变换）得到一个阶梯形的方程组． 在例1中，我们实际上已经给出了一种求解线性方程组 的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变 换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目 的．这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法． 这三种变换称为线性方程组的初等变换．