由此定义易得 即若 Green函数G(x,x)存在,则必关于其二组变量x及x对 称。为此只要在 Green第二公式中取xG(x,y),tG(x 便可得 (x-z)G(x,y)一(x-y)G( 也即G(x,y)〓G(y,x)。下面为了应用方便,常将公式(57)中的 积分变量换为x而将r留作Gren函数中的参变量,取l满足 Aa-0,m-G(x,x)为 Green函数,则由 Green第二公式 (57)可得 ∑,G(x,x)7x)lx(x),x∈,(60) 其中v及表示关于变量x的相应的 Dirichlet及 Neumann 微分边值算子,公式(60)正是 Poisson积分公式的表达式,其积 分核 P(x,x)-6G(x,x), x∈,x'∈r 称为 Poisson核。再以微分算子P作用于(60)两边,于是在边界 r附近有 : w(a)--2.B:B; G(x,*)r (*)ds (5), x∈Ω,i-0,l13,…,m-1 令x∈趋向边界F,可得 8;a(x)-∑|[p;:G(,x)]=7(x)(x) x∈F 其中上标(-0)表示从r的内侧取极限。由自然积分方程(61)即 得到积分算子%;的表达式 [, G(x, x)1-y u(r)ds (r) x∈r
其积分核 K;(x,x)一-L6;;G(x,x)]”,x,z'∈r 称为自然积分核 必须注意,积分核[B3G(x2x)]0与[pG(x,x)]9一般 井不相等,但有 IB G(x, r)]o)=[B B G(r, r)]o)+R:(r, 5), 其右端第一项是形式地在F上求值,而第二项R;(x,x)可能为 零,也可能是以r×r空间的“对角浅”xx为支集的奇异函 数,即 Dirac.8函数6(x-x)及其导数的线性组合,这恰好相 应于位势理论中越过边界时的跳跃公式,这就是说,既使为了书 写简便而略去上标(一0),仍应将(62)中的6;理解为从r内侧取 极限的微分边值算子,否则便可能导致错误的结果.在后面几章 中可以看到很多这样的例子。此外,由于%Y为2m一i~j 1≥1阶拟微分算子,i一0,1,,m一1,故自然积分核 K;(x,x)均为强奇异积分核,积分表达式(62)也正是在 Hadamard有限部分积分的意义下才成立 若原微分方程右端非零,即 Au =f, 其中f≠0,則由Gren第二公式(57)可得 Poisson积分公式 ∑|nG(x,x)m(x)dx+o( x∈ (63) 及自然积分方程 6x-2x,x+x+18G(x,x)f(x)x x∈ 64) 54.强奇异积分的数值计算 由前几节巳知,区域上的许多微分方程边值问题常可通过多
种途径归化为边界上的积分方程.这些积分方程往往是奇异积分 方程.它们可能是弱奇异的,可能是 Cauchy型奇异的,也可能是 强奇异或称超奇异的.由于强奇异积分方程曾在J. Hadamard 的著作中出现过,故也称为 Hadamard型奇异积分方程。但是因 为积分核的强奇异性带来了理论上及算上的困难,过去很少有 人对此类积分方程进行深入研究。在边界归化理论及边界元方法 的研究中,数十年来人们的注意力集中于经典的第二类 Fredholm 积分方程及仅含弱奇异核即可积奇异核的第一类 Fredholm积分 方程,其原因之一也在于避免处理强奇异积分,但近十余年来强 奇异积分方程在边界归化理论和边界元方法的研究中已占有越来 越重要的地位。特别,由自然边界归化得到的自然积分方程无 例外都是强奇异积分方程。这就使得研究强奇异积分方程的数值 解法成为近年来受到广泛重视的重要课题。由于无论应用配置法 还是应用 Galerkin法,强奇异积分方程都可离散化为线性代数 方程组,而求解这样的方程组通常并无困难,于是问题的关键便在 于如何得到这一代数方程组的系数,也就是说,必须解决强奇异积 分的数值计算问题 Hadamard型强奇异积分比 Cauchy型奇异积分有更高阶的 奇异性,按经典微积分学的概念,这些积分是发散的、没有意义 的,当然也无法用经典的数值积分公式计算出其具有一定精度的 近似值。即使是对弱奇异积分行之有效的一些数值方法,例如 Gauss型积分法及在奇点附近知分积分区间的方法,对强奇异积 分也无能为力,事实上,边界积分方程中出现的强奇异积分是在 广义函数意义下定义的 Hadamard有限部分积分。这是经典 Riemann积分的进一步推广。为了近似计算这样的积分,必须发 展相应的数值计算方法,近年来已有多种计算这类积分的数值方 法.这些方法在边界元计算中已被应用并被证明是切实可行的 下面将简要介绍这些方法。 28·
541积分核级数展开法 为了发展自然边界元方法,克服积分核强奇异性产生的闲难 以落实自然积分方程的数值解法,本书作者提出了积分核级数展 开法,并在论文[16]中首先应用了此方法 由本书的后几章可知,当Q为圆内或圆外区域时,二维调和方 程、重调和方程、平面弹性方程及 Stokes方程组等典型方程或方 程组通过自然边界归化得到含强奇异积分核的自然积分方程,且 这些积分核都含有且仅含有 4如这样的强奇异项设 边界上的基函数为L(6),t=1,2,∵N,则只须计算 L,(6)L1(0)d46 4z sin L(0),L;(6) (65) 形式的积分,其中卷积米可通过 Fourier级数定义,(,)为 (L,()}所属函数空间与其对偶空间之间的对偶积。利用广义函 数论中的重要公式(见75]) 6 (66) sign n)e 2: SIn 29
∑ln;-1 n cos nd,(68 其中(66)式为收敛的 Fourier级数-1∑inn0(其和是 一个r一[-x,m]上的连续函数)的广义导数,(67)式可由(66) 式逐项微分得到,(68)式又可由(67)式逐项微分得到,可得 osn(6-8)L (O)L (8)de d8 求和号下的每一项积分都是容易准确算出的。例如,当L(日), 1,…,N为分段线性基函数时,{L;()}cH(r).设插值 节点在r上均匀分布,经计算可得(见本书第二章§8) 4. #x,!,扌 N 或写作 其中 sint 这显然是一个收敛级数,于是尽管积分核有强奇异性,其级数展 开形式也为发散级数,但积分(65)却确实可以算出,其值是一个收 敛级数的和,是一个确定的数。从而自然边界元刚度矩阵可利 用此法计算得到。例如对单位圆内调和边值问题,当采用上述分 段线性基函数时,自然边界元刚度矩阵即是由a,a1,…,a-1生 成的循环矩阵