D*(u,v) 1pl.1964 oge()duorvdx = D(v, u) A*为正常椭圆型算子当且仅当A为正常椭圆型算子,由定理13 可进一步得到,在自然边界归化下,A的目伴性及强制性等重要的 基本性质均被保持。 定理14 1)Ox(4*)一x(A)*,D*口D*; 2)A=A当且仅当%x(4)*=x(A); 3)D(,U)为V(9)-椭圆双线性型,当且仅当D(小,小)为 T()-椭圆双线性型 证。1)对任意中,φ∈T(r),由关于 Dirichlet问题(44)的 基本假设,必有“,∈V&(Q),使得φYu,中=Y。于是,由 定理L.3 (%(*)小,中)=D*(中,中)一Da,v)一D(u,a) D(ψ,中)=(%(n),一(%(A*中中) D*(中,φ),妒中,ψ∈T(r) 从而%(4*)=%(A)*,D*一D* 2)若4*〓A,则由1)即得 (A)一(A*-,%(A) 反之,若(A)*-%(A),则对任意M,∈V(g), D(u, v)mD(ru, yv)-(X(aYu, Yv) (x(A)*y,a)-(%(A)yv,y) D(r,7x)一D(,n) 于是a-ap川p,|q≤m,从而*〓A 3)若D(x,t)为VQ)椭圆即存在常数C>0,使得 D(",)≥Cl少yv∈Vxa) 对任意ψ∈T(r),由关于 Dirichlet问题(44)的基本假设,有 ∈v),使得ψ一"",由迹定理,存在常数a>0,使得 ‖ψlrur.≤ll 于是,白定理13
D(b,中)-D(,)≥Cp≥S4x2,∈T(), 其中C>0,即得D(中,中)为r(r)潲圆 反之若D(中,)为r(r)-椭圆,即存在常数C>0,使得 D(ψ,小)≥C小r)∈T(r), 则对任意v∈V(Q) D(,v)=D(vu,u)≥ creto 由关于 Dirichlet问题(44)的基本假设,存在常数M≥0,使得 lvy(s)≤M!yti 于是 D(,)≥C1 vavp∈V(Q) M 其中,>0,即得D(x,)为VKQ)椭圆。证毕 §32 Neumann问题的等价变分问题 考察 Neumann问题(47)及等价的变分形式 ∫求x∈K(a),使得 52) D(u,")=( v∈V(Ω 使(47)成(52)有解的充要条件是g必须满足如下相容性条件 )〓0,∈vx*,(S) 其中VA*(9)一{v∈V(Q)A,=,B=} 由上小节可知,应用自然边界归化,问题(47)可以归化为边界r上 的如下自然积分方程 φ〓g (53) 它有相应的变分形式
求φ∈T(F),使得 (中,ψ)〓(g,中),ψ∈T(r) 54) 其相容性条件可表述为 v∈Tx*T) 其中 r)一{∈T()%*〓0}, 于是定理13立即导致如下等价性定理。 定理15若关于边值问题(44)的解的存在唯一性的基本假 设成立,则边界上的变分问题(54)等价于区域上的变分问题(52), 也就是说,若中为变分问题(54)的解,则“-P中为变分问题(52) 的解,反之,若4为变分问题(52)的解,则φ一u为变分问题 (54)的解,其中P为 Poisson积分算子,为 Dirichlet迹算 子。 证,若φ为变分问题(54)的解,即φ∈T(r),且 D(中,中)一(g,ψ),妙∈T(r) 则由关于 Dirichlet边值问题(44)的解的基本假设,可取 Pφ,使得a∈V(Q),A-0,且4〓中,于是利用定理13,得 D(:2)_D(,)-b(小,)一(g2),v∈V(Q), 即得x为变分问题(52)的解。反之,若为变分问题(52)的解,即 M∈V(Q),且 D(#)一(g,Y),V∈V(Q) 则取中-,有中∈T(T).对任意∈T(r),由关于边值问题 (44)的解的基木假设,可取p-P,满足v∈V(9),A-0且 Yv一小,于是再利用定理1.3,得 D(中,小)一D(r,mn)D(v,v)=(g,7)-(g,) v∈T(r) 即得中为变分问题(54)的解,证毕 旦求出(53)或(54)的解中〓4, Poisson积分公式(49) 便给出原边值问题(47)的解。而 Dirichlet问题的解则可由 Poisson积分公式直接得到。至于混合边值问题,即在一部分边
界上给定 Dirichlet条件而在另一部分边界上给定 Neumann条 件,例如一7。Ur1,F∩F1〓如,在F上:Yx〓如已知,在 I1上:B-8已知,则可设 十 其中 I上, 上 ,上 ,T;上 于是由自然积分方程(53),只须在F上求解积分方程 即可。解得q1后,便可由Y-1+q利用 Poisson积分公式 求得原混合边值问题的解 自然边界归化也可用于区域Q的某一子区域。设对 Neumann 问题(47),Q被分割成及2两部分,今仅对以r为边界的区 域Q2实施自然边界归化(图11).于是由定理13得 D(,)≌D1(*,)+D2(u2v) D1(x,)+D2(yx,t) 这里为Q2上函数到r'上的 Dirichlet迹算子,而 D(x,)-∑…()40dx,i-l,2, 分别为相应于91及2的双线性型,O为由2.上算子A归化 到r上的自然积分算子,而 D,(ru,ru-(rw,rv). 图1
设p为旦2上函数到r′上的 Neumann迹算子,于是o上的 Neumann边值问题(47)等价于 内 8g,F上, r上 其等价的变分形式为 俅求#∈H"(1),使得 (56) D,(u, v)+2(rw, ,v)a(g, yD), VeE Hm(01) 这样我们只须解子区域Q1上的边值问题(55),其中除了原有的 r上的边界条件外,又附加了人为边界r上的一个非局部的积分 边界条件,变分形式(56)则告诉我们,自然边界归化在交界线r 提供了自然而直接的耦合,有限元技术对于变分问题(56)依然有 效,这正是自然边界元与有限元耦合法的基本原理,在本书第六章 将详细介绍这一耦合法 §3.3自然积分算子的表达式 下面利用Gren公式及 Green函数写出自然积分算子的表 达式,今设A为带实常系数a的自伴强椭园算子,知A*A, 且存在常数a≥0,使得 A(5)≥a||m,V5∈R 其中 4(5)一∑(-1)”aP+,+《- 于是由 Green公式(46)可得 Green第二公式 (A·n-,u)dx-∑(B-B;y)dr(x) 设G(x,x)为算子A关于区域g的 Green函数,即满足 dG(r G(x,x)-0