Q-(q;) 今后将以((m,……a))表示由a1,…;N生成的循环矩阵。因 为由公式(69易得a;一ay故Q为对称循环矩阵.可以用直接 法或迭代法,也可用快速 Fourier变换等方法求解得到的线性代 数方程组(见本书第二章8) 对于分段二次元及三次元,也可得到刚度矩阵系数的收敛 级数表达式,但对分段常数元则不然,得到的系数表达式当 1i-il≤1时是一个发数级数 4∑1an3nos,(i-)2x, 从而刚度矩阵无法求出。这是因为卷积算子 每xQ*:P(r)→Hr) 为1阶拟微分算子,若L;,L,∈H(F),为使对偶积(65)有意 义,必须H(r)cH(r)-H(r),从而必须」-1 也 即s≥1/2.由于分段常数基函数不属于H(r),对偶积(65)无 意义,故此单元不可用也是理所当然的 以后几章的数值计算实践表明,用本节所述积分核级数展开 法求解含 型核的强奇异积分方程是切实可行的 其详情见本书以后几章的有关各节 积分核级数展开法虽然是为求解自然边界归化得到的强奇异 积分方程才提出的,但实际上,这一方法对于求解 Cauchy型或弱
奇异型积分方程同样有效,只要该积分方程的积分核有适当的级 数展开式。例如计箅 1 L,(6)L(6)d6d0, 2 其中L(),i=1,…,N,仍为分片线性基函数,这里的积分核 是弱奇异的,该积分当然可以利用Gaus积分法或在奇点处细分 积分区间的方法进行计算,但若要得到高精度的结果,则可应用 积分核级数展开法.利用公式(66),经简单演算便得 4 cos(a-A)L, (8)L; (6 )de de x cos 2nz 1 显然这一级数收敛得很快,从而用很少的计算量便可得高精的 结果 §4.2奇异部分分离计算法 所谓奇异积分是指其积分核属于这样的函数类,它使得该积 分不可能在通常的 Riemann或 Lebesgue意义下定义,在一维情 况下,常见的奇异积分核有logl-型、1:型及 型等类型。带log|t-s型核的积分为弱奇异积分,这一积分在 广义 Riemann积分的意义下仍是可积的,带 型核的积分 为 Cauchy型奇异积分,这二积分虽在广义 Riemann意义下仍 无定义,但可定义其 cauchy主值,例如,当积分核为 数f(t)∈C"a,b)时,则对s∈(a,b), Cauchy值积分定义为 ice p 11
型核的积分则为 Hadamard型强奇异积分。例如,当 区域为半平面时,自然边界归化导致计算直线上的带一1 核的强奇异积分,而当区域为圆域时,则导致计算圆周上的带 核的强奇异积分。这一类积分无论在广义 ursin Riemann积分意义下,还是在 Cauchy主值积分意义下都是发散 的。事实上,在边界归化中得到的这类强奇异积分应该在广义函 数意义下理解为有限部分积分。当积分核为 t-5)2 ,函数f()∈ C(a,b)时,对∈(a,b), Hadamard有限部分积分定义为 K t) dt lim 1(t 2( (z-s)2 (72) 这一定义是有意义的,据此可以计算出确定的积分值.例如,当 rt-1时有 p im 十 对于一般的f(t∈C(a,b),有 Taylor展开式 f()-K(s)+f()t-s)+f"(r+6r-)(r-), 其中0<6<1.于是 f() p
t f(r)pv de [f(t)-f(5)-f(s)(t-)]ar, 其右端第一项为 Hadamard有限部分积分,第二项简化为 Cauchy 主值积分,第三项则进一步简化为经典 Riemann积分,其被积 函数已不含奇异性。于是在一定意义下也可以说,有限部分积分 正是经典 Riemann积分及 Cauchy主值积分的推广,而经典 Riemann积分或 Cauchy主值积分则是有限部分积分(72)当 f(5)f()-0或f(5)0时的特例.今后为简单起见,也常用 通常的积分号表示 Cauchy主值积分及有限部分积分,即略去记 号p.v.或f.p,因为这样井不会引起误解,由于有限部分积分 f. 及 Cauchy主值积分 便得 f() [f(t)一f5)-f(s)(t-5 (-5)2 其右端最后一项可以利用通常 Riemann积分的数值积分公式进 行计算。注意到利用分部积分可得 (t-x)f"(x)dx-f(t)-f()-f(5)(z-5) (73)式也可写作 p dt
f(s) (;-)3)(x-x)f”()drl 若f()改C(a,b),但f(t)∈C(a35)∩c2(s*,b),则 Hadamard有限部分积分的定义应修改为(见[69] P).a》4-5 r()n8+".一(D、a f(:+) +f(+)ins}. (74) 当f()∈C(a3b)时,(74)即化为(72)。当奇点为积分区间端点 时,(74)则化为 tp厂地a9少)攻 f() f() (75) 或 f() d f(r p 2+r(+)ns (76) 上面f(5)及f(+)分别表示当r→!时f(的左极艰及右极限 特别取f(t)一1,可得 Ep!a2-!打.a2 p dt n iim r+e li b