性函数空间。设{L()}=,,为S的基函数令 94(x)-∑qL((x) 便可由(39)得到如下线性代数方程组 ∑q(L,L,)q;-1,4Lds (40) 这里每一个系数Q(L,L)是一个二重积分,由于积分算子为非 局部算子,系数Q(L,L)均非,故 Galerkin边界元刚度矩阵 也是满矩阵。 此外,肖家狗(G.C. Hsiao)和W.L. Wendland提出了 Galerkin配置法,有兴趣的读者可参见[86],这里不再介绍 53.自然边界归化的基木思想 上节简单介绍了际流行的两种经典的边界归化方法,即 直接法与间接法,以及相应的边界元计算方法从本节起便转人本 书主题,即介绍我国学者首创并发展的自然边界元方法.我们首先 穊述椭圆型微分方程边值问题的自然边界归化的基本思想。这· 思想的明确提出至今不过十余年时间,但最早注意到调和方程边 值问题可以归化为吵一型强奇异积分方程则可追溯到J Hadamard(见即77]).正是由于这一原因,这一类比 Cauchy型 积分方程有更强奇异性的积分方程常被称为 Hadamard型积分 方程.但这一强奇异性带来的困难却使得数+年来很少有人对它 进行貞深人的研究。人们通常着眼于避免强奇异性,将这一类积 分方程写成其逆形式中一如,这里积分算子只有可积 奇异性,G, Birkhoff曾在一个注记中写道:“这就是月而 不是用φ来表示双线性型的原因, Friedrichs曾说过,要是核也 是正则的,一个按φ表示的表达式将导致更顺当地定义的纯变分 1·
问题”(见53]).当然很可惜,这样的核并不是正则的而是强奇异 的.于是这样定义的变分问题也就未被釆用,直至70年代中期, 我国学者冯泉才又注意到这一类强奇异积分方程及其相应的变分 形式,并从数值训算及应用的角度开始进行研究,提出了白然边界 归化的其本思想.这一思想最早发表于论文[11中,当时称这种边 界归化为正则边界归化。然后在论文[701及[71]中这一思想又得 到了较详尽的述和较系统的发展 s31横圆边值问题的自然边界归化 设Q为以还片光滑简单闭曲面r为边界的n维有界区域.考 察Ω上2m阶正常權圆型微分算子 ∑(-1)p"(a,(x)on),(41) p州q1≤w 其中anq(x)∈C()为实函数,x冖(x1,…·,x)∈旦,P,均为 多重指标,P〓(P,…,p),1p一 0x1,→n,A:H(Q)→H2(Q) 易见算子A关联于如下双线性泛函: aquated (42) 设示为P上单位外法向矢量,定义如下微分边值算子 .'uk 通常称Y为2m阶微分方程的 Dirichlet微分边恒算子,或称之 为 Dirichlet迹算子,而称微分方程边值问题 Q内 r上 为 Dirichlet边值问题,或第一类边值问题。由徹分方程的基本 理论(见[95]),存在唯一的一组与 Dirichlet边值算子相对应的 并与之互补的微分边值算子 3?1 B=1),8;〓Bxx),0)lr
(45) 的阶为2m-1一i,使得如下 Green公式对所有a,∈C(D) 成立 D Cu, v)-gAudx B; u.rids. (46) F被称为 Neumann微分边值算子,或 Neumann迹算子,;是 与 Dirichlet边值r;κ互补的 Neumann边值.Gren公式(46) 可以毫无困难地被推广到对所有M,v6H(9)成立。称微分方 程边值问题 d-0,g内, g 为 Neumann边值问题,或第二类边值问题 考寮如下 Sobole空间及其迹空间: v(Q)-Hm(旦),V9)口{w∈V(Ω)*}一H(旦), v9)-{x∈V()4-},T()-ⅡH-r), 并将线性算子A,Y,P连续延拓为 A:V(≌)→H"(9)=V9) 7:V(Q)→T(r),Y#:V(Q)→H"(r), B:V()→T(r), 8:;V(口)→H(m-t(r)=Hm氧r) 今对边值问题(44作如下基本假设:当砌∈T(r)时 Dirichlet边值问题(4)在V9)中存在唯一解,且解w∈v(a) 连续依赖于给定边值∈T(r 从上述基本假设出发,迹算子:VA)→T(r)是一个同 构映射,它农在逆算子 P(P,P1,…,P-1):T(r)→V49) P;:H’(r)→V() 算子P被称为 Poisson积分算子,它将r上的解函数的边值映为 9中的解函数,给出了T()→VK9)间的同构。于是积算于
pP定义了如下连续线性算子: 8P:T(r)→T(F), %=8;P};H1)→H("’r)2 算子%〓O(A)称为由上微分算子A导出的F上的自然积 分算子。由于算子至少降低了边值函数一阶光滑性,因此均 为强奇异积分算子。以后将看到,%;实际上是边界r上的 2m一i一j-I阶的微分算子或拟微分算子,由算子%及P的 定义立即得到自然边界归化理论中的两个基本关系 84-Dxy#,vu∈VA(Q), 48 即 -∑a7 及 =PYu,yw∈V4Q), (49) 即 Pir 它们分别称为Q中微分方程Aan-0的边值问题的自然积分方程 及 Poisson积分公式,于是椭圆型微分方程或方程组的自然积分 方程正是该方程或方程组的解的 Neumann边值通过其 Dirichlet 边值表示的一组积分表达式,而其 Poisson积分公式则是该方程 或方程组的解通过其 Dirichlet边值表示的一组积分表达式 自然积分算子%导出如下迹空间T(r)上的连续双线性型 D(φ,φ)一(%小,小),中,φ∈T(r), (50) 其中(,)表示T(r)与T(r间的对偶积, (%中,4)-2,的,; 下面给出的二个定理是自然边界归化的重要忤质也是其区 别于其它类型的边界归化的主要特征
定理1.3若在自然边界归化下区域Ω土的微分算子A化为 边界上的自然积分算子%x,则x导出的T(矿)上的双线 性泛函与由A导出的原问题的双线性泛函有相同的值,即 D(u,v)-D(x,),w"∈Vd(Q),v∈V(a).(51) 证。对任意a∈vA(9),v∈V(O),由 Green公式(46)即得 D(“,U) uAdx+|.pa·Yds u·vds 其中 Bu.lvds B; ur 0 又由自然积分方程(48),便有 ru.yuds -D(r u,yv). 证毕 设Jv)及()分别为区域Q上及边界r上的能量泛函,即 0(v,t)-(g,) 只(中)一D(小,)-(g,) 干是由定理1.3可直接得到 推论。在自然边界归化下,能量泛函值保持不变,即 (ru)J(v),÷V) 今设A*为A的伴随箅子,即满足 A dx A*vdx3“,u∈V(Q) %(A)及%(4*)分别为在同一区域Q上算子A及A*经过自 然边界归化得到的自然积分算子,D*为关联于A*的双线性型 D*及D*分别为关联于,M(A*)及,%(A)*的双线性型。易验 证 Piap 98 x)0) p引引≤帽