1)用单层位势表示 R(y 4x·:|x-y d(x),y∈R 对第一边值问题即 Dirichlet问题,得含弱奇异核的第一类 Fredholm积分方程 ds(x)〓a(y),y∈T 4r r Ir-yI 对第二边值问题即 Neumann间题,得含 Cauchy型奇异核的第 二类 Fredholm积分方程 1 q(y)+ q(x) y∈ int T et 上式左端第一项的+号及一号分别相应于内问题及外问题 2)用双层位势表示 r(+)Q (x),yEQug 对第一边值问题即 Dirichlet问题,得含 Cauchy刑奇异核的第 二类 Fredholm积分方程 ±1q()-1[(x)(1 r-y/(x)→ ∈ int r ext r 上式左端第一项的+号及一号分别相应于内问题及外问题 可以看出,三维情况与二维情况的差别仅在于以三维调和方 程的基本解 ECx, y) 代替二维调和方程的基本解 ECx, y) 当然,在Q及’为三维区域时其边界r为二维曲面
无论对二维问题还是对三维问题,经典的边界积分方程法常 用双层位势表示 Dirichlet问题的解而用单层位势表示 Neumann 问题的解。这样导致第二类 Fredholm积分方程。对这类积分方 程迄今已冇大量硏究及成熟的数值解法.然而这种边界归化失去 了原问题的自伴性等有用的性质.于是近十年来越来越多的研究 转向利用单层位势表示 Dirichlet问题的解及利用双层位势表示 Neumann问题的解从而得到含弱奇异核或强奇异核的第一类积 分方程的归化方法 §22直接边界归化 直接边界归化方法则是从基本解和Gren公式出发将微分 方程边值河题化为边界上的积分方码.工程界常用的所谓“∥权 余量法”乜可归人这一类型,这种归化一般也失去了原问题的白 伴性等性质,从而离数化后得到的线性代数方程组的系数矩阵 般是非对称的.与间接法不同的是,直接法并不引入新的变量, 积分方程未知量就是原问题未知量的边值或边界上的法向导数 值。由于这一方法在使用上比较方便且易于理解,故更受工程界 欢迎 仍考察以逐段光滑简单闭曲线r为边界的二维区域Q内的调 和方程的边值问题。 Green第二公式为 as 群△)ax 取t为所考察边值间题的解,mE(xy)为调和方程的基本解, 通常玟为 E(x,y) 由于 △E〓8(x-y), 其中6·)仍为二维Diac-8函数,由(28)即得解的积分表达 式
ds(x),y∈Q (29 以及 )0-1n|x-yl(x),y∈r. (30) 这以-物2!为知量的含型丽奇异核的第一类 Fredholm积分方程正是对调和方程的 Dirichlet问题归化得到 的边界积分方程。而对 Neumann问题,x,已知,则可将此式改 写为以斯为变量的含 Cauchy型奇异核的第二类 Fredholm积 分方程 (y)+)4(x) ids(r) (a)ln|*yids(),yEr. (31) 对(29两边求法向导数可得 0x(y)1 Ou(r a a|x-y}d(x),y∈a.(32) 由此出发并注意到单层位势法向导数趋向边界时的眺跃性,对 Dirichlet问题得如下含 Cauchy型奇异核的第二类 Fredholm 积分方程: (y)十 Ix-ylds( 0( In |*-ylds(x),yEr. (33)
对 Neumann问题则为以场为变量的含强奇异核的第一类积分方 (2 2“(y)+ t,(a )0inx-yd(x),y∈r 由于调和方程的基本解E(x,y)并不唯一,例如E(x,y)加 上任意一个调和函数仍为基本解,故可以从任意一个基本解出发 实现边界归化,这样便可得到无穷多个不同的边界积分方程。当 然,我们希望得到的边界积分方程能较好地保持原问题的性质,有 尽可能简单的形式,并易于数值求解。自然边界归化方法正是沿 这一方向进行探索获得的牙究成果 §23边界积分方程的数值解法 在通过边界归化得到边界上的积分方程后,接下来的问题便 是如何求解之。下面简要介绍两种最常用的方法 1.配置法 首先把边界剖分为单元,在二维情况下取直线段或弧段单元 在每个单元上根据插值约束条件确定一定数目的节点,然后在节 点上配置插值,得到一个以节点处有关量为未知值的线性代数方 称组,这样得到的方程组的系数矩阵是不对称的满矩阵 例如对边界积分方程 K(x, yq(x)ds(x)=j(),JEI (35) 设{L1(x)}=,,为r上插值基函数全体 q(x)≈∑qL;(x), 可以用配置法将上述方程离散化为如下线性代数方程组 K(x,yi)Li (s)ds(*)1 9i=f( 14
2 (36 在求得边界上未知量q(x)的节点值q,-1,…,N后,将它代 人解的积分表达式的离散化公式,便可求得区域内任意点处的解 亟数值 配置法简单易行,计算量小,因此常被工程界使用,但对它不 便于进行理论分析 2. Galerkin方法 将边界积分方程再写成等价的变分形式,便可用 Galerkin方 法即有限元方法来求解。由于关于 Galerkin方法的收敛性及误 差估计已有成熟的理论,容易对此方法进行理论分析。不过在使 用这一方法时求线性方程组的每个系数都需要在边界上计算二重 积分,所以一般说来要花费较多的计算时间以致于解线性代数方 程组所用的时间与计算矩阵系数的时间相比都显得不足道。当然 用 Galerkin方法求解典型域上自然积分方程是一个例外,在那 里只需要计算很少部分系数,且每个系数的计算量也很小。(参见 本章54及以后各章.) 考察由间接边界归化导出的第一类 Fredholm积分方程 1 g(*)in|x-yldr(x)〓a(y),y∈r。(37) 令 (q,p) Ix--y q(x)p(y)ds(s)ds(y) 于是(37)等价于变分问题 求q(x)∈H-t(r),使得 1,)-(,-,yHtG (38) 其相应的离散化变分问题为 求q4(x)∈S,使得 (39) uoPads, VPA 其中S4cH-t(r),例如可取为r上分段常数函数空间或分段线 15