且 8(x)dx 它是一个广义的数,对任意连续函数q(x),满足 d(s(x)d (0) (参见[41,[75].) 下面的定理给出了上述边值问题的解的积分表达式。 定璞11设#为和Q中二次可微函数,分别有边值 on aatr n extr 且满足 △u=0 ∪′内 1当1大时:)-0(),ad)-0(r) 于是,若y∈Ug′,则 In Ix-yisds(s) (10) On 若y∈r,则 {(y)};r+(y)xr} x(x)了 au(s) (11) an n|x-y145(x) 其中规定法线方[总是指向Ω的外部,即由Q指向q′,intr及 extT分别表示r的内侧及外侧
a]- uint-a!。xr 分别表示及“越过r的跃度 定理的证明可见[35或[99] 上述结果是对光滑边界而言的。若边界r上有角点%,则 (10)式依然成立,而(11)式左边在y处应作改变,即代之以 2x~日 soiar u(yoI 2zt Lu(x] In x - yol 6x( I* s ds(=) (I2) 其中6为在y点r的二条切线在Q内的夹角的弧度数 若分别考虑Q内及Q′内的调和方程边值问题,可以从(10 )得到 u(aliatr In Ir-yl du(x)( In]x-yls ds(x) 2x(y),y∈a 6w(y) y∈T (13) 6(x) u(K)leztr (2xu(y) y∈ (2x-9)x(y y∈F (I4 ∈9 下面讨论如何得到边界积分方程.引人两个辅助变量 t#]一 unitr-alat (15) 及 (16) T ertr
这里,当调和方程的解“被解释为物理学中静电场的电位分布时, 表示在r两侧的电位的跃度,相当于在r内侧分布着负电荷,而 在r外侧分布着等量的正电荷从而形成的电偶极子的矩在r上的 分布密度;q则表示r酉侧电场强度法向分量的跃度,相当于在r 上分布的电荷密度。 在M连续通过r的情况下,也即当[M(x)]〓0时,解的积分 表达式(10)变成 u(y) 2x/ 9(InIr-ylds(*), y (17) 这一表达式被称为单层位势,其物理意义为当在上分布密度为 q的电荷时在空间产生的电势场 现在利用单层位势作边界归化。对Q内或内的第一边值 问题,边值xl或x|xr为已知函数xo,若解*可用单层位势 (17)表示,则q(x)应为如下第一类 Fredholm积分方程之解: 9(x)ln1x-y ds(r)=,(y),yEr. (18) 由(18)解出q(x)后再代人(17)便可得Q内或内的解.这里 需要指出的是,由于定理1对w在无夯远的性态作了较强的限 制,实际上对#的边值蚴也有了某种限制,于是并非所有约解函 数M可用单层位势(17)表示,但可以证明,若“不能用单层位势 表示,则必可表示为 1「.g(∞)n|z-ylax(x)+C,(19 其中C为某常数。由(19)仍得第一类 Fredholm积分方程 2x Jr)In|= ds()=uo(y) ,y∈r.(20) 由(20)解出q(x)后再利用(19)即得解函数# 对第二边值问题,假定相容性条件 g(x)d(x)-0 被满足。有如下定理
定理12若M满足定理11的假设,且[]=0,则对y∈r, 有 du(y2 ?(y)-1 (x)In x-y ds(x) 2rr du(y) q(y) 9(x) 2x Jr (22) 其证明可参见[99],于是由此定理,可得关于第二边值外问 题的r上的积分方程 1 g(x) In Ix -ydr(x)eg(y).(23) 这是一个第二类 Fredholm积分方程.而对于第二边值内问题, 则有如下第二类 Fredholm积分方程 2xJ9(x). 解出q(y)后仍可由单层位势表达式(17)得到原问题的解w 今假设在边界连续,即 |-0,并利用轴助变量 匪#]。此时由定理1.1给出 l P( in x-ylds(r),yEUQ.(25) 由于它相应于在r上分布密度为q的电偶极子矩时在R2中产生 的电场,被称为双层位势。 考虑第一边值内问题,la〓為,作“在⑨′的延拓使 0.于是“有双层位势表示(25)。可由定理1的(1) 式得到联系φ和的方程 q(y)+ 6 9(x) ln|x-y|d5(x)=(y).(26) 2r r 这是r上的第二类 Fredholm积分方程。出(26)解出φ(x)后即 可由(25)得到解函数x,对于第一边值外问题,同样可得
q In x-ylds(x) (27) 这也是上的第二类 Fredholm积分方程。 综上所述,对于二维区域Q或Q内的调和方程的边值问题, 有如下结果: 1)用单层位势表示 w(y)==I q(x)In x-ylds (a),yER 对第一边值问题即 Dirichlet问题,得含log弱奇异核的第一类 Fredholm积分方程 gln ds(x)=uo ),yET. 对第二边值问题即 Neumann问题,得含 Cauchy型奇异核的第 二类 Fredholm积分方程 土-q(y) q(x)InIx -y ds(a)=g(y) t I 上式左端第一项的十号及一号分别相应于内问题及外问题。 2)用双层位势表示 (r)-In x-y ds(), yE9J zre jr 对第一边值问题臥 Dirichlet问趣,得含 Cauchy型奇异核的第 二类 Fredholm积分方程 ()+ q int r 上式左端第一项的十号及一号分别相应于内问题及外问题, 上述边界归化方法同样可应用于三维问题。对于三维区域Q 或旦'内的调和方程边值问题,有类似的结果;