《自动控制原理》 根轨迹法(5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
第五章《根轨迹法》 6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 K1=∞ = K1=0 会合点 分离点 K1=0 分离点或会合点的必要条件: dG s)H(s)] 0 式中 (S+2;) (S+21) G(SH(S=KI =K1G1(s)H1(s) G1(s)H1(s) (s+P,) (s+P,) j=-1
2 第五章《根轨迹法》 6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 分离点或会合点的必要条件： 式中 0 [ ( ) ( )] 1 1 = ds d G s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 K G s H s s p s z G s H s K n j j m i i = + + = =− =− =− =− + + = n j j m i i s p s z G s H s 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) K1 = 分离点 K1 = 0 K1 = K1 = K1 = 0 K1 = 会合点 0 K1 = 0 K1 =
第五章《根轨迹法》 设系统的开环传递函数 K∏(s+=,) G(SH(S) K,G(s)(s)=k P(s) S+P,) Ps)=∏(s+)=(s+=1s+=2)…(S+=m) Q(s)=∏1(s+P)=(s+P1s+P2)…(s+Pn) j=1 1+G(s)H(s)=1+K1G1(S)H1(s)=1+Ky0O K1P(s)+Q(s)=0
3 第五章《根轨迹法》 设 系统的开环传递函数 P(s) (s z ) (s z )( s z ) (s z ) m m i = + i = + + + = 1 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 n n j Q s = s + p j = s + p s + p s + p = 0 ( ) ( ) 1+ ( ) ( ) =1+ 1 1 ( ) 1 ( ) =1+ 1 = Q s P s G s H s K G s H s K K1 P(s) +Q(s) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 Q s P s K G s H s K s p K s z G s H s n j j m i i = = + + = = =
第五章《根轨迹法》 根轨迹在s平面上相遇,表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重 根,必同时满足f(1)=0和fs)=0。因此求得: K1P(s)+Q(s)=0 KP(S)+0(S=0 消K去,可得到:P(s)Q(s)-P(s)Q(s)=0 便于忘记,上式又可写成: [G1(s)H1(s) 或dG(s)H() 0 d 以上分析没有考虑K1≥0(且为实数)的约束条件,所以只有满 足K1≥0的这些解,才是真正的分离点(或会合点)
4 第五章《根轨迹法》 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 和 。因此求得： 消 去，可得到： 便于忘记，上式又可写成： 或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。 f (s1 ) = 0 f (s1 ) = 0 + = + = 0 0 1 1 K P (s) Q (s) K P(s) Q(s) K1 P(s)Q(s) − P(s)Q(s) = 0 0 [ ( ) ( )] 1 1 = ds d G s H s 0 [ ( ) ( )] = ds d G s H s 0 K1 K1 0
第五章《根轨迹法》 例:设系统B+② K1(s+2) C(s) +2s+2 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解:系统的开环传递函数: K1(S+2) G(s)H(s)=2+2s+2 2 s2+4s+2 [G1(s)H1()= s+ 0 d 2s+2」(s2+2s+2) 求得:S1=-0.586(舍去)S2=-3414 代入特征方程1+G(Ss)H(s)=0检验:S代入,求得:K<0,故 舍去;S2代入,求得K>0。所以S2会合点。 5
5 第五章《根轨迹法》 例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故 舍去； s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。 R s( ) + C s( ) − 1 2 ( 2) 2 2 K s s s + + + 2 2 ( 2) ( ) ( ) 2 1 + + + = s s K s G s H s 0 ( 2 2) 4 2 2 2 2 [ ( ) ( )] 2 2 2 2 1 1 = + + + + = + + + = s s s s s s s ds d G s H s ds d s1 = −0.586 (舍去) s2 = −3.414