《自动控制原理》 频域稳定性分析(6-4) ( Nyquist稳定性判据) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhian@sjtu.edu.cn
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6-4控制系统稳定性分析 -Nyquist稳定性判据 基本思想:利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 预备知识幅角定理 由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任 点,经过复变函数F(s)的映射,在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 II(S+zi)l S+2 F()=1=∑/s+∑∠s+p) ∏I+p)Is+n
2 基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 ( ) ( ) ( ) s p s z F s 1 1 1 1 j n j 1 i n i 1 Π Π F s F s s z s p s p s z n j j n i i n j j n i i
令:5从开始沿任一闭合路径。(不经过F(的零点和极 点)顺时针旋转一圈,F(S)的相角变化情况如下: 零点(-2)极点(P) Im 1)-Z在I外。2)P在外 二; △+D=0 结论:相角无变化 Z在I内,/+2=z顺时针) 2)P在I内,+-2xF(逆时针 结论:若F(s)在厂中有Z个零点和P个极点,则当s沿I顺时 针方向旋转一圈时,F(s)相角有变化(顺时针) ∠F(S)=-2(Z-P)
3 令：s从 开始沿任一闭合路径Γs （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi) 极点(-Pj) 1) –Zi在Γs外。 2) –Pj在Γs外。 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时 针方向旋转一圈时， F(s) 相角有变化（顺时针）： • 1 s s zi 0 s zi 2 s p j 2 s p j 0 1 z 2 0 z s Im Re 1s F(s) 2 (Z P)
幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且 不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时,映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点(乙-P)。即 N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时 针为正,顺时针为负
4 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且 不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时 针为正，顺时针为负
三、奈魁斯特稳定性判据 1.奈氏路径 s=-10→>-10→+10→+1→-顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 JOA F(S)的任何零、极点, 平面 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴(包 R 括原点)上时,则以 +j0 F(s)的极点 这些点为圆心,作半 径为无穷小的半圆, O 按逆时针方向从右侧 绕过这些点
5 三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径 顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 F(s)的任何零、极点， 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴（包 括原点）上时，则以 这些点为圆心，作半 径为无穷小的半圆， 按逆时针方向从右侧 绕过这些点。 j j 1 j 1 j F (s)的极点 R j j0 j0 s平面 s j j0 j0 j j