《自动控制原理》 根轨迹法 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 《自动控制原理》 ——根轨迹法 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
第五章《根轨迹法》 5.1根轨迹的定义与幅相条件 系统动态响应的基本特征是由闭环极点(即闭环特征方程的 根)在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是:在已 知开环传递函数零、极点分布基础上,通过图解法研究系统某 个或多个参数变化时,对控制系统闭环极点分布的影响。 5.1.1根轨迹的定义 例设一系统R+ KI C(s) s(S+ 1) 闭环传递函数 K 特征方程 S+S+KI s2+s+K,=0 特征方程的根 1,2 0.5±0.51-4K1
2 第五章《根轨迹法》 5.1 根轨迹的定义与幅相条件 系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的 根）在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已 知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某 一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。 5.1.1 根轨迹的定义 例 设一系统 闭环传递函数 特征方程 特征方程的根： 1 2 1 s s K K (s) + + = s s K1 0 2 + + = 1, 2 5 1 4K1 s = −0.5 0. − 1 ( 1) K s s + R s( ) + C s( ) −
第五章《根轨迹法》 若K1从零到无穷大变化时,特征方程根的变化情况如表 K110 0.125 0.25 0.5 -0.146 -0.5 0.5+j0.5 0.5+j00 -0854 -0.5 50.5 -0.5-0 I 所谓根轨迹图,即以系统增益 K1为参变量,当K1由0→∞时, 系统闭环极点在s平面上变化 K1=0.25K1=0 的轨迹 0.5 0 根据此图可以分析参数变化 对系统特性的影响
3 第五章《根轨迹法》 若K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表 所谓根轨迹图，即以系统增益 K1为参变量，当K1由0→∞时， 系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。 根据此图可以分析参数变化 对系统特性的影响。 K1 0 0.125 0.25 0.5 …… ∞ s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 …… -0.5+j∞ s2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 …… -0.5-j∞ Im Re 1 K = 0.25 1 K = 0 −1 −0.5 0 K1 − K1
第五章《根轨迹法》 ■稳定性当增益K1由0→∞,根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边,因此系统对所有的值都是稳定的, 稳态特性开环传递函数在坐标原点有一个极点,所以属I 型系统,根轨迹上的值就是K。如果已知es,则在根轨迹 图上可以确定闭环极点取值的容许范围 动态特性 当0<K1<0.5时,闭环极点位于实轴上,为过阻尼状态; 当K1=0.5时,两个闭环实极点重合,为临界阻尼系统; 当K1>0.5时,闭环系统是复极点,为欠阻尼状态,单位 阶跃响应为衰减振荡过程
4 第五章《根轨迹法》 ◼ 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的， ◼ 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹 图上可以确定闭环极点取值的容许范围。 ◼ 动态特性 当0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程
第五章《根轨迹法》 分析表明,根轨迹与系统性能之间有着较密 切的联系。然而,对于高阶系统,用解析的方 法绘制系统根轨迹图,显然是不适用的。我们 希望能有简便的图解方法,根据已知的开环传 递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此,需 要 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系
5 第五章《根轨迹法》 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密 切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方 法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们 希望能有简便的图解方法，根据已知的开环传 递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需 要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系