第四章控制系统的时域分析 三性分析:稳定性稳态特性动态特性 4-1控制系统的稳定性分析 E(s) C(s) G(s) H(S) 稳定的系统概念和定义 稳定是系统正常运行的前提,是控制理论研究的重要课题 1.稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后,能够恢复到原始的 平衡状态,则称系统是稳定的。反之,称系统是不稳定的 即取决于系统的零输入响应
1 第四章 控制系统的时域分析 三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性 4－1 控制系统的稳定性分析 一、稳定的系统概念和定义 稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。 1．稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的 平衡状态，则称系统是稳定的。反之， 称系统是不稳定的。 即取决于系统的零输入响应 R s( ) C s( ) G s( ) B s( ) + E s( ) − H s( )
4-1控制系统的稳定性分析 2.稳定的充要条件 稳定性定乂表明,线性系统的稳定性仅取决于系 统自身的固有特性,而与外界条件无关。 设初始条件为零时,输入为一个理想的单位脉冲函 数,即R(S)=1。当作用时间t>0时,s)=0,这 相当于系统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡 工作点的问题。若时,这时系统的输出为脉冲响应 limc(t=o t→)∞ 即输出增量收敛于原平衡工作点,则系统是稳定的
2 2．稳定的充要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系 统自身的固有特性，而与外界条件无关。 设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函 数 ，即R（S）=1。当作用时间t>0时， =0，这 相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡 工作点的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。 (t) ( ) 0 lim = → c t t 4－1 控制系统的稳定性分析 (t)
设闭环系统的传递函数: d(S)= C(s) bmS"+bm-S+.+6,S+b B(s) (m≤n) R(S) as"tan-I s+…+a1s+aoD(s) 设(=12)为系统特征方程D)=0的根,而且彼此不等 系统输出: C(s)=B() S) R(S) D(s) D(S) k+2 s+B =S-P1 (o1+J0 -(1-jo 对上式进行拉氏反变换,得到理想脉冲函数作用下的输出: c()=2c,ep+2e"(A, cos@, t+B, sin t 上式表明,线性系统稳定的充要条件是:闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均分在 平面的左半部
3 设闭环系统的传递函数： 设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。 系统输出： 对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出： 上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在 平面的左半部。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 D s B s a s a s a s a b s b s b s b R s C s s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − = = − + − − + + − = = = r j j j j j j j k i i i s j s j s s p c D s B s R s D s B s C s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos sin ) 1 1 c t c e e A t B t j j j j r j t k i p t i j i = + + = = i p (i =1,2, ,n) D(s) = 0 k + 2r = n (m n) (t 0)
4-1控制系统的稳定性分析 3.劳斯( Routh稳定判据 系统稳定关键看特征根的分布,而根是由方程的系数决定的。 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设线性系统的特征方程为: ans"+anS"+……+a1s+ao=0 由代数知识可知,所有根均分布在左半平面的必要条是:方程 所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项(系数为 零),则系统为不稳定系统。 劳斯判据分析系统稳定性步骤 将特在方程式的系数按下列规则排成两行,即 n:n-2:n-4 n-1
4 3. 劳斯 (Routh) 稳定判据 系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设 线性系统的特征方程为： 由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程 所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为 零），则系统为不稳定系统。 劳斯判据分析系统稳定性步骤： 第一步：将特征方程式的系数按下列规则排成两行，即 4－1 控制系统的稳定性分析 1 0 0 1 + 1 + + + = − a s a − S a s a n n n n an ,an−2 ,an−4 an−1 ,an−3 ,an−5
4-1控制系统的稳定性分析 第二步:进行下列运算,建立劳斯表(又叫劳斯阵列)。 例如,现有一个五阶系统,其特征方程: aSS+a4S+a3 S+a2S+a, S+ao=0 则劳斯表为 aa -dsd. A2 Aa-aa B a,a 0 BA2-A,B C1B,-0 0
5 第二步：进行下列运算，建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例如，现有一个五阶系统，其特征方程： 则劳斯表为 4－1 控制系统的稳定性分析 1 0 0 2 2 3 3 4 4 5 a5 s + a s + a s + a s + a s + a = 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 2 4 2 1 2 4 4 1 5 0 2 4 4 3 5 2 1 3 4 2 0 4 5 3 1 5 B C C B s D B B A A B s C a A A a B A A a a A s B a a a a a A a a a a a s A s a a a s a a a = − = − = = − = − = − = − =