电动力学习题解答参考第二章 静电场4，均匀介质球（电容率为6）的中心置一自由电偶极子P，，球外充满了另一种介质（电容率为6，，求空间各点的电势和极化电荷分布。P,.R提示：同上题，d:+而满足拉普拉斯方程。4元起,R3中肉中外解：6162ORaR中肉2P,cos0又1A,R-P)60RoaR4元6,R中啡2P,cos0B,Z(I+1)=6,(-RiP)62ORR4元,R比较P(cosの)系数：Bo=0,A=0282Pf2pj262B,及4 =B+8,A =4元6,RRe4元RRo2(6 -82)Pf2() -62)Pf得：AB4元(6 +2862)4元81(61 +262)R比较P(cosの)的系数：3B2,4=B28/4,Ro=-RoRo1及A(1+)= 06,Ro所以 A, = 0,B, =0。同理，A, = B, =0,(I=2,3...)最后有：P,.RPy.R2(8 -62)P, -R2(6 -82)PfRcoso=中国(R<Ro)4元6,R34元6,R34元8;(6) + 262)R4元( +262)RPy.RP.R3p,·R2(6) -82)P, -R2(81 -62)P/COSO=中外4n(8 +282)R3 ;(R> Ro)4元6,R34元8) (6 +262)R24元6,R34元1(6)+282)R3- 6 -
电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 6 - 4 均匀介质球 电容率为 1 ε 的中心置一自由电偶极子 Pf r 球外充满了另一种介质 电 容率为 2 ε 求空间各点的电势和极化电荷分布 提示 同上题 ' 4 3 1 φ πε φ + ⋅ = R Pf R r r ,而φ'满足拉普拉斯方程 解 R ∂R ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 1 2 又 内 = − +∑ ∂ ∂ l l 1 3 l 0 1 0 f 1 1 l 4 2 cos ( 0 A R P R P R R πε θ ε φ ε = − −∑ ∂ ∂ 外 2 l l 0 l 3 1 0 f 2 2 (l 1 4 2 cos ( 0 P R B R P R R πε θ ε φ ε 比较 Pl (cosθ )系数 B0 0 A0 0 3 0 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 1 1 0 , 2 4 2 4 2 R B A R B R A R f f + = − − 及 = ε πε ε ρ ε π ρ 得 4 ( 2 ) 2( ) , 4 ( 2 ) 2( ) 1 1 2 1 2 1 3 1 1 2 0 1 2 1 πε ε ε ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ + − = + − = f f B R A 比较 P2 (cosθ )的系数 4 0 2 4 2 0 2 1 2 0 , 3 2 R B A R B ε A R = 及 ) 0 1 (1 1 0 2 + = R A ε 所以 A2 = 0, B2 = 0 同理 A = B = 0,(l = 2,3L) l l 最后有 ,( ) 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 3 1 1 2 0 1 2 3 1 R R R R R R R R R f R f f f < + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r 内 ,( ) 4 ( 2 ) 3 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 1 R R R R R R R R R R f R f f f f > + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ π ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r r r 外
电动力学习题解答参考第二章 静电场球面上的极化电荷密度Gp=Pin-P2n，n从2指向1，如果取外法线方向，则p=P外n-P球n=[(62-60)VΦ外)n-[(6)-60)VΦ肉)]m0 +(61 -0)-肉=-(82 -60)-ORR=RaR-6prcoso6(60 -62)P, cos02(6, -82)-2(6 + 282)Prcoso=(82 -60)R3 -(6] -80)[-4元(6)+262)R4元(81 +282)R4元8,(+282)R681(60 -82)+682(8) -80)380(81-82)Prcos=25(6) +265,)R Py COsO4元（6+2)R求极化偶极子：P，=qi可以看成两个点电荷相距1，对每一个点电荷运用高斯定理，就得到在每个点电荷旁边有极化电荷p=(-1)4,-p=(-1)-4)，两者合起来就是极化偶极子616(0-1)PP, =65.空心导体球壳地内外半径为R，和R2，球中心置一偶极子P，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。解：oV, = 0,/r- = 092 = C,021r-0= 00p.r4元3+510为有限值d==2岛(co0),3, =-C 02 =C,02|r=R =CP,.rf0p dsfo00=4mor+Z4r'P(coso)-ds中r=R+r=RarOrJ60-7-
电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 7 - 球面上的极化电荷密度 P P n P n n r , σ = 1 − 2 从 2 指向 1 如果取外法线方向 则 p P n P n n n [( ) )] [( ) )] σ = 外 − 球 = ε 2 − ε 0 ∇φ 外 − ε 1 − ε 0 ∇φ内 0 ( ) ( ) 2 0 1 0 R R R R 外 内 ∂ ∂ + − ∂ ∂ = − − φ ε ε φ ε ε cos ] 4 ( 2 ) 2( ) 2( 2 ) 4 ( 2 ) 6( ) cos ( )[ 4 ( 2 ) 6 cos ( ) 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 2 0 0 2 1 0 3 1 2 0 2 0 ρ θ πε ε ε ε ε ε ε π ε ε ε ε ρ θ ε ε π ε ε ρ θ ε ε f f f R R + R − − + − + − − − + − = − ρ θ πε ε ε ε ε ε ρ θ πε ε ε ε ε ε ε ε ε cos 2 ( 2 ) 3 ( ) cos 4 ( 2 ) 6 ( ) 6 ( ) 3 1 1 2 0 0 1 2 3 1 1 2 0 1 0 2 2 1 0 f f R + R − = − + − + − = 求极化偶极子 P ql f r r = 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 ( 1) , ( 1)( ) 1 0 1 0 P f P f q = − q −q = − −q ε ε ε ε 两者合起来就是极化偶极子 PP Pf r r ( 1) 1 0 = − ε ε 5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2 球中心置一偶极子 P r 球壳上带电 Q 求空间各点 电势和电荷分布 解 + ⋅ = = = ∞ ∇ = = → → →∞ 3 1 ' 1 ' 0为有限值 0 1 2 2 0 3 3 2 , 4 , 0, 0 r r r r P r C φ φ πε φ φ φ φ φ r r = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ⋅ = = = = ∑ ∫ ∫ ∑ = = = + − 0 3 1 3 0 1 2 2 3 1 3 2 1 1 2 (cos ) 4 , (cos ), ε φ φ θ πε φ φ φ φ θ φ Q dS r dS r A r P r P r C C P C r B l r R r R l l f r R l l r R l r r R2 R1 φ 3 φ 1 φ 2