《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十九章 含参量积分 §1 含参量正常积分

2.含参量正常积分的性质训连续性：若二元函数f(x,y)在矩形域R(α≤x≤b,c≤y≤d)上连续则函数 I(x)=[f(x,y)dy 在[a,b]上连续证 设x e[a,b],对充分小的△x,有x+ Ax E[a,b],于是I(x +△x) - I(x) = [f(x +Ax, y) - f(x, y)ldy由于f(x,y)在R上连续从而一致连续知V>0,38 >0, V(x,y),(x2,2)E R,当xi -x2<8, yi -y2<8有f(x,y)-f(x2,y2) <

若二元函数 ) 在矩形域 上连续, f (x, y R(a  x  b,c  y  d) 则函数  = d c I(x) f (x, y)dy 在 [a,b] 上连续 设x[a,b],对充分小的x,有x +x[a,b],于是 I(x x) -I(x) [ f (x x, y) f (x, y)]dy. d c +  = +  − 由于f (x, y)在R上连续从而一致连续知   0,  0,(x1 , y1 ),(x2 , y2 )R,当 , , x1 − x2   y1 − y2   ( , ) ( , ) . 1 1 2 2 有 f x y − f x y   2. 含参量正常积分的性质 证 (i)、 连续性:

故当△x<时有I(x +△x) - I(x) ≤f(x+Ax,y)-f(x,y)dysdx = (d -c)从而I(x)在[a,b]上连续同理可证:若f(x,)在矩形域R上连续，则含参量y的积分J(y) =f(x,y)dx在[c,d]上连续由连续性，若f(x,y)在矩形域R上连续，则VxElabl都有limf(x.y)dy=limf(x,y)dy即定义在矩形域上连续，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的

故当x 时有 I(x x) -I(x) f (x x, y) f (x, y)dy. d c +   +  − dx (d c). d c  = −    从而I(x)在[a,b]上连续. 同理可证:若f (x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分  = b a J(y) f (x, y)dx在[c,d]上连续. 注: 由连续性， 若f (x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a,b],都有 →   → = d c x x d x x c lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy 0 0 即定义在矩形域上连续， 其极限运算与积分运算的顺序是可交换的

(i)可微性：a若函数 f(x,y)与其偏导数都在矩形域f(x,y)18R(ax<b.cy≤d)上连续,则I(x) = / f(x,y)dy 右在[a,b]上可微，且-Ox证设x E[a,b],对充分小的△x,有x+△x E[a,b],则I(x +△x) -I(x) - rd f(x+Ax,y)- f(x,y)福AxAx由Lagrange中值定理及f.(x,y)在有界闭域R上连续知

(ii)、 可微性: 若函数 f (x, y) 与其偏导数 f (x, y) 都在矩形域 x  R (a  x  b,c  y  d) 上连续,则  = d c I(x) f (x, y)dy 在 [a,b] 上可微, 且     = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 证: 设x[a,b],对充分小的x,有x +x[a,b],则 . ( , ) ( , ) x I(x x) -I(x) dy x d f x x y f x y c  +  − =  +  由Lagrange中值定理及f x (x, y)在有界闭域R上连续知

V>0,3S>0,只要△<,就有f(x+Ar,y)-f(x,y) - f.(x, )Ax=f,(x+x y)-f,( y)<, 其中e(0,1),因此f(x+x,y)-f(x,y)f (x,y)dy<s(d -c)Ax兴门f(x,y)dy=f(x,y)dy即Vx E[a,b],有注：由可微性，若f(x)与f(x)在矩形域R上连续，则导数Ox运算与积分运算可交换顺序

         0, 0, , 只要 就有 x ( , ) ( , ) ( , ) f x y x f x x y f x y − x  +  − f (x x, y)-f (x, y) , x x = +   其中 (0,1).因此 ( , ) ( ). ( , ) ( , ) ( , ) f x y dy d c x f x x y f x y f x y dy x I d c x d c x −  −  +  − −       即x[a,b],有     = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 注: 由可微性 若 与 f x y 在矩形域R上连续， 则导数 x ， f (x, y) ( , )   运算与积分运算可交换顺序

下面考虑J(y)的可积性设f(x,y)在矩形[a,b;c,d]上连续，那末由定理19.1，函数I(x)=[" f(x,y) dy J(y)=J,f(x,y) dx分别在 [a,b] 及[c,d]上连续。因此 I(x)在 [a,b]上可积J(y)在[c,d] 上可积。记为["1(x) dx=I'(C°f(x,y) dy) dx=J" dx J"f(x,y) dy°J(y) dy=I'(L'f(x,y) dx) dy=J° dy J,f(x,y) dx要研究这两个积分是否相等？

下面考虑 J y( ) 的可积性。 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d] 上连续，那末由定理 19.1，函数 ( ) ( , ) b a J y f x y dx =  ( ) ( , ) d c I x f x y dy =  分别在 [a, b] 及 [c, d ] 上连续。因此 I x( ) 在 [a, b] 上可积， J y( ) 在 [c, d ] 上可积。记为 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b b d b d a a c a c I x dx f x y dy dx dx f x y dy = =      ( ) ( ) ( , ) ( , ) d d b d b c c a c a J y dy f x y dx dy dy f x y dx = =      要研究这两个积分是否相等？