《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十五章 傅里叶级数

第十五章傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数

第一节傅里叶级数三角函数正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简单的周期运动，可用正弦函数(1)y = Asin(ox +β)来描写，由（1）表达的周期运动也称为简谐振动，其中A为振幅，β为初相角，の为角频率，于是

第一节 傅里叶级数 一 三角函数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰 到一种周期运动，最简单的周期运动，可用正 弦函数 y A x = + sin( ) 1   （ ） 来描写 ，由（1）表达的周期运动也称为简谐振 动，其中A为振幅，  为初相角，  为角频率,于是

2元简谐振动 y 的周期是 T =较为复杂的0周期运动，则常是几个简谐振动Yk = A, sin( kax + Pk)K=1, 2, ..", n的叠加nEyk = EA, sin(kox+Pk)(2)y=k=1k=1

简谐振动 y 的周期是  2 T = 周期运动，则常是几个简谐振动 sin( ) yk = Ak kx +k K=1,2,.,n 的叠加 较为复杂的 1 1 sin( ) 2 n n k k k k k y y A k x   = = = = +   （ ）

T27元) K=1,2,...,n由于简谐振动的周期为k0所以函数（2）的周期为T，对无穷多个简谐振动进行的叠加就得到函数的项级数A, + E A, sin(nox + pn)(3)n=若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象，对于级数（3），我们只要讨论(如果の≠1，可用のx代替x)的情形

由于简谐振动 k y 的周期为 k T 2 T   （ = ） K=1,2,.,n 所以函数（2）的周期为 T，对无穷多个简谐振 动进行的叠加就得到函数的项级数 0 1 n n sin( ) 3 n A A n x    = + +  （ ） 若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般 的周期运动现象，对于级数（3），我们只要 讨论  =1 (如果  1 ) ，可用 x x 代替 的情形

由于sin( nx +Pn) = sin Pn cos nx +cos Pn sin nx所以A, +EA, sin(nx +p,)n=l8= A + E(Asinp , cos nx+ A, cosp , sinnx) (3')n=1= %A, sin Pn = an, A, cosPn = bn,n = 1,2,记A2则级数(3'）可写成

nx nx nx n n n sin( + ) = sin  cos + cos sin 所以 ( ) 0 1 0 1 sin( ) sin cos cos sin n n n n n n n A A nx A A nx A nx     =  = + + = + +   ） (3 ) / 记 , sin , cos , 1,2,. 2 0 0 = A = a A = b n = a A n n n n n n 则级数 (3 ) / 可写成 由于