S1隐函数一、概念定理18.1定理18.2二、、定理定理18.3三、例题
§1隐函数 一、概念 二、定理 定理18.1 定理18.2 定理18.3 三、例题
概念我们以前接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如y= x? +1, u =e (sin xy+ sin yz + sin zx)这种形式的函数称为显函数。但在不少场合下常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定就。设 XcR、yCR,F:X×Y→R
我们以前接触的函数，其表达式大多是 自变量的某个算式，如 这种形式的函数称为显函数。但在不少场 合下常会遇到另一种形式的函数，其自变 量与因变量之间的对应法则是由一个方程 式所确定就。设 y x u e ( x y yz zx) xyz 1, sin sin sin 2 = + = + + X R y R F X Y R → , : 、 概念
对于方程 F(x,y)=O....(1)若存在集合ICX与JCY，使得对于任何xEI，恒有惟一确定的VEJ,它与x一起满足方程(1),则称由方程(1)确定的定义在I上，值域含于J的隐函数。若把它记为y=f(x),xEI,JEJ,则成立恒等式F(x,F(x))=0
( ) ( ( )) 1 , 1 , , , , 0 I X J Y x I y J x I J y f x x I y J F x F x = 若存在集合 与 ，使得对于任何 ，恒有惟一确定的 ，它与 一起满足方 程（）则称由方程（）确定的定义在 上，值域含 于 的隐函数。若把它记为 则成立恒等式 对于方程 F(x, y) = 0(1)
定理18口（隐函数存在惟一性定理）若满足下列条件：(1)函数F在以P(xo,y）为内点的某一区域Dc R上连续;(2)F(xl%)=0(通常称为初始条件);(3)在D内存在连续的偏导数E(x,);(4) F,(xo, yo)± 0 ;
定理18.1(隐函数存在惟一性定理) 若满足下列条件: (1) , ; 2 函数F在以P（0 x0 y0 ）为内点的某一区域D R 上连续 (2) ( ) 0( ; F x0, y0 = 通常称为初始条件） (3) D F (x, y); 在 内存在连续的偏导数 y (4) ( , ) 0 ; Fy x0 y0
则在点P的某邻域 U(P)cD内，方程 F(x,y)=O唯一地确定了一个定义在某区间（x-α,+α）内的隐函数=f(x)，使得1 f(x)= yo,xe(x -α,x +α)时(x, f(x)eU(P)且F(x,f (x)=0;2° f(x)在(x-α,x+α)内连续;证明：先证隐函数的存在性由条件（4），不妨设F,（xo,y)>0(若F,（xo,%）<0,则可讨论F(x,y)=0），由条件(3)F,在D内连续,连续函数的局部保号性，存在点P的某一闭的方邻域[x。-β,x+β]×[-β,y+β]cD
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , 0 , P U P D F x y x x y f x = − + = 则在点 的某邻域 内，方程 唯一地确 定了一个定义在某区间 内的隐函数 ， 使得 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 , , , , 0 ; 2 , f x y x x x x f x U P F x f x f x x x = − + − + 。 。 时 且 在 内连续； 证明:先证隐函数的存在性 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 , 0 , 0 , 0 3 [ , ] [ , ] y y y F x y F x y F x y F D P x x y y D = − + − + 由条件（ ），不妨设 （若 ，则可讨 论 ），由条件（ ） 在 内连续，连续函数的局部保号性， 存在点 的某一闭的方邻域