第三节收敛定理的证明预备定理1（贝塞耳（Bessel）不等式）若函数f在[一元,元] 上可积，则aoZ(a, +b,)≤=" f(x)dx,(1)+2元n=l其中αn,b，为f的傅里叶系数，（1）式称为贝塞耳(Bessel）不等式
第三节 收敛定理的证明 预备定理1（贝塞耳（Bessel)不等式）若函数f在 上可积，则 − = + + ( ) ,(1) 1 ( ) 2 2 1 2 2 2 0 a b f x dx a n n n 其中 为f的傅里叶系数，（1）式称为贝塞耳 （Bessel)不等式 [−, ] an bn
证：令aoE(a, cos nx +b, sin nx)Sm(x)2n=1考察积分[", [f(x) -S,(x)P dx-J" f"(x)dx-2]" f(x)·S.(x)’dx+ " s.(x)dx(2)由于J-, f(x)Sm(x)dx-, ()+ a,)omh,sid)n=
证 ：令 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a S x n n m = + n + = 考察积分 2 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx − − − − − = − + （ ） 由于 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )cos ( )sin ) 2 m m n n n f x S x dx a f x dx a f x nxdx b f x nxdx − − − − = = + +
根据傅里叶系数公式可得元"α° + 元Z(a, + b,)[" f(x)S.(x)dx = "(3)2n=l由于Sm(x）的积分，应用三角函数的正交性有[" S(x)dx7[% + (a, cos nx + b, sin nx)}’ dx2n=1
根据傅里叶系数公式可得 2 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 m m n n n f x S x dx a a b − = = + + （ ） 由于 ( ) 2 S x m 的积分，应用三角函数的正交性， 有 2 0 2 1 ( ) [ ( cos sin )] 2 m m n n n S x dx a a nx b nx dx − − = = + +
-(g)], dx+Z[a, ], cos'mxdx+b,]", sin' xd]元a +元Z(d, +b.)(4)2n=l将（3）、（4）代入（2）可得0 ≤[" [f(x)-S.(x)P dx-I, F(0)dx- g -~ (d +b)2-
0 2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 1 ( ) [ cos sin ] 2 ( ) 4 2 m n n n m n n n a dx a nxdx b nxdx a a b − − − = = = + + = + + （ ） 将（3）、（4）代入（2）可得 2 2 2 2 2 0 1 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 m m n n n f x S x dx a f x dx a b − − = − = − − +
因而aom(a +b,)≤-", f(x)P dx2元n=1-[" [f(x)P dx它对任何正整数m成立。而元 J-级数为有限值，所以正项+Z(d;+b,)2n=1的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式（1）成立
因而 a b f x dx a n n m n 2 2 2 1 2 0 [ ( )] 1 ( ) 2 − = + + 它对任何正整数m成立。而 f x dx 2 [ ( )] 1 − 级数为有限值，所以正项 ( ) 2 2 1 2 2 0 n n an b a + + = 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式（1） 成立