的一个解,即f(x,1)=0的解。 例:考虑微分方程x=A(),显然x2=0是它的 个解并且是它的一个平衡状态。 2简化的平衡状态 在初始时刻t时,干扰引起的状态向量x与平 衡状态x之差 称为初始扰动向量。由x0所决定的运动过程是 x=f(r, t) 的解称为被扰运动,记为x()=x(1x0 由于平衡状态和被扰运动均为微分方程 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
的一个解，即 f (x t e , ) 0 = 的解。 2. 简化的平衡状态 考虑微分方程& = = A( ) 0 ，显然 是它的 一个解并且是它的一个平衡状态。 e 例： x t x x 在初始时刻 t0 时,干扰引起的状态向量 x0 与平 衡状态 xe 之差 0 0 e y = - x x 称为初始扰动向量。由 x0 所决定的运动过程是 x& = f (x t, ) 0 0 的解,称为 ， 被扰运动 记为x (t) = x (t,t x, )。 由于平衡状态和被扰运动均为微分方程 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
ⅸ=∫(tx)的解。由此可导出扰动向量 y():x 应服从微分方程 (x-x2)=f(x,1)=f(y+x2,)=G(v,) 称为关于平衡状态x的扰动方程,即 y=G(y 其中,G(,t)满足G(0,t)≡0。这是因为 G(0,)=f(x2)≡0 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
x& = f (t x, )的解。由此可导出扰动向量 e 称为关于平衡状态x 的扰动方程，即 y& = G (y t, ) 其中，G (y ,t )满足G t (0, ) 0 º 。这是因为 (0, ) ( , ) 0 G e t = º f x t ( ) : e y t = - x x 应服从微分方程 ( ) ( , ) ( , ): ( , ) e e d d y x x f x t f y x t G y t dt dt = - = = + = PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
因此,在下面考虑一般的时变、非线性、多 变量系统时,我们总假定它的微分方程 =F(x, t) (8-1) 满足 F(0,1)=0 其中x为n维向量,F(x)为m维的函数向量。这 时方程(8-1)有解x=0(满足x()=0),称为(8-1) 的显然解或零解。 在以下讨论平衡状态的稳定性时,只需要讨 论零解这个平衡状态的稳定性就可以了。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
满足 F(0, t)=0 (8-2) x& = F(x t, ) (8-1) 因此，在下面考虑一般的时变、非线性、多 变量系统时，我们总假定它的微分方程 其中x为 n 维向量，F(x, t)为 n 维的函数向量。这 时方程（8-1）有解x=0 (满足x(t0)= 0) ，称为（8-1） 的显然解或零解。 在以下讨论平衡状态的稳定性时，只需要讨 论零解这个平衡状态的稳定性就可以了。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
3.李雅普诺夫稳定性的定义 设有一个初始扰动,使系统的状态偏离了平衡 状态x=0。若初始扰动为x()=x0,显然在这个初始 扰动作用下,方程(8-1)所决定的运动是下列初值 问题 x =F(r, t) x()=Xo 的解。将这个解表示为x(1)=x(t,t0,x0) 例:考虑微分方程 x三4x 显然,x2=0是它的一个平衡状态。现若有初始扰动 x(0)=0.001, PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡 状态x=0。若初始扰动为x(t0)=x0 ，显然在这个初始 扰动作用下，方程（8-1）所决定的运动是下列初值 问题 0 0 的解。将这个解表示为 x (t) = x(t, t x, )。 0 0 x& = F(x t, ) x( ) t x = 3. 李雅普诺夫稳定性的定义 例：考虑微分方程 x x & = 4 显然， 是 xe = 0 它的一个平衡状态。现若有初始扰动 x(0)=0.001， PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
则其解为 x=0.00le4t≥0 可见,即使初始值微小地偏离了平衡状态,且在任意 有限的时间内其解有界,但最终将发散。 例:考虑微分方程 显然x=0是它的一个平衡状态。现若有初始扰动 x(0)=100 则其解为 x=100,t20 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
15 可见，即使初始值微小地偏离了平衡状态，且在任意 有限的时间内其解有界，但最终将发散。 4 0.001 , 0 t x = ³ e t 则其解为 例：考虑微分方程 x x & = -4 显然 是 xe = 0 它的一个平衡状态。现若有初始扰动 x(0)=100 则其解为 4 100 , 0 t x e t - = ³ PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/