事实上无论初始扰动多么大,最终将收敛到平衡状 太 n O 以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳 定的例子。从第一个例子还可以看到,尽管在任意 有限的时间内解是有界的,但若讨论时间趋于无穷 (或在工程上,当时间?很长”)时系统的行为,则 这种发散的特性就是完全不能接受的了。 Lyapunoy稳定性就是要研究微分方程的解在 1∈[t,+0)上的有界性。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
事实上无论初始扰动多么大，最终将收敛到平衡状 态。 以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳 定的例子。从第一个例子还可以看到，尽管在任意 有限的时间内解是有界的，但若讨论时间趋于无穷 (或在工程上，当时间“很长”）时系统的行为，则 这种发散的特性就是完全不能接受的了。 Lyapunov 稳定性就是要研究微分方程的解在 tÎ[t0，+¥）上的有界性。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
根据微分方程解对初值的连续依赖性质,可知 只要x充分小,对于[门]之间的任一时刻,x(t10 偏离x=0(平衡状态)也可以任意小。现在要研究这 性质是否对[t,+∞)均成立。 定义81对于任意的E>0,都存在()>0,使得 当‖x(t0)<8(0,8)时有 ‖xtto,xo)-0‖<E ‖x(to-0‖ x(x0)1<811≥b 成立。则称系统关于平衡状态(或原点)x=0是 isL李雅普诺夫意义下)稳定的。 定义82若定义8-1中的δ=8(8),即8与1无关(关 于0一致,则称所定义的稳定为一致稳定。 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知 只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0) 偏离x=0（平衡状态）也可以任意小。现在要研究这 一性质是否对[t0, +¥)均成立。 定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得 当‖x(t0) ‖＜ d (t0, e)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ e "t≥ t0 成立。则称系统关于平衡状态（或原点） x=0 是 （i.s.L.李雅普诺夫意义下）稳定的。 定义8-2 若定义8-1中的d =d(e) ，即d 与 t0 无关(关 于t0 一致)，则称所定义的稳定为一致稳定。 ‖x(t0)-0‖ ‖x(t, t0, x0)-0‖＜ e PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn
定义8-1(李雅普诺夫危义下稳定)的图示: 对于任意的>0,都存在8t8)>0,使得当 ‖x(0‖<6(t) 时有x(,1b,x0)<Et≥10成立 1.此处δ随着E、1而变化; 2.‖x(t,1,x0)<EVt≥to 初值变化充分小时,解的变化(t≥1)可任意小(不是 无变化):3.显然,δ(0.8E PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
定义8-1（李雅普诺夫意义下稳定）的图示： e d t0 t 1. 此处d 随着e 、t0而变化； 2.‖x(t, t0, x0) ‖＜ e "t≥ t0 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当 ‖x(t0) ‖＜ d (t0,e) 时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ e "t≥ t0 成立 初值变化充分小时，解的变化( t≥ t0)可任意小(不是 无变化)；3.显然， d (t0,e)£ e。 x(t0) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ
李雅普诺夫意义下稳定 (t,8) 定义8-1对于任意的E>0,都存在&,0,使得 当‖x(t0)<8(0,)时有 ‖x(to,xo)<εt≥ PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建iw, fineprint. com. cn
19 e d(t0 , e) x0 x(t) 定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得 当‖x(t0) ‖＜ d (t0, e)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ e "t≥ t0 李雅普诺夫意义下稳定 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 Ìwww.fineprint.com.cn
例:讨论下列系统的稳定性和一致稳定性: 其解为: e ()+(1-e0)x2() x2(t)=x2(0t≥to 任给e>0取d=e(与t无关),则只要 x(0)+2(0:(0+2x(0)<d=e 这里,取2向量1-范数。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
例：讨论下列系统的稳定性和一致稳定性： 1 1 0 0 x x é ù - = ê ú ë û & 其解为： 0 0 ( ) ( ) 1 1 0 2 0 2 2 0 0 ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ), t t t t x t e x t e x t x t x t t t - - - - = + - = " ³ 0 任给 取 e > = 0, ( d e 与t 无关），则只要 1 0 2 0 1 0 2 0 x (t ) + x (t ) £ x (t ) + 2 x t( ) < = d e， 这里，取 × - 为向量1 范数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/