问题:当初值变动时,对应的解如何变动? 在应用上的意义是:初值通常是用实验方法求得 的,实验测得的数据不可能绝对准确,若微小的误差 会引起对应解的巨大变动,那么所求的初值问题解的 实用价值就很小。 2. Lipschitz条件 f(x, t),x(to)=x o (t1,t2)∈(-∞,+) (t1,t2):=I,x∈WCR f(x,t)的定义域记为WxI PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
6 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？ 在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得 的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差 会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的 实用价值就很小。 0 0 1 2 1 2 ( , ) , ( ) , ( , ) ( , ) ( , ) : , I W R x f x t x t x t t t t t x = = Î Ì - ¥ + ¥ = Î Ì & 2. Lipschitz条件： f (x t, )的定义域记为W I ´ 。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
若存在一个常数L,使得对任何t∈L,x,y∈W都有 f(x, t)-f(y, t)s L k-y 则称f在Wx让满足 Lipschitz条件。这个定义可以 推广到W为任意有限n维空间的情形。 注:满足 Lipschitz条件可保证微分方程解的存在性和 唯一性。 3.解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v, fineprint,com,cn
若存在一个常数L，使得对任何 t Î Î I W , , x y 都有 f ( x , t ) - f ( y , ) t £ - L x y 则称 f 在 上满足Lipschitz条件。这个定义可以 推广到W为任意有限n维空间的情形。 W I ´ 注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和 唯一性。 3. 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn //
定理1(解的存在性及唯一性定理):对于微分方程 i'=f(r, t) 若f(x)在WxⅠ域内连续且满足 Lipschit条件,则 对任意的初始条件 x(x0,tb)∈W×, 总存在常数a>0,使得有唯一解 在[ωo-a,to+a]上存在、对t连续,且满足初始条件 x(10)=x° 稳定性的核心是研究解的淅近性质,即当解x( 在t>∞时的性状。故总假定在[o.∞)上解是存在的。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
定理1（解的存在性及唯一性定理）：对于微分方程 若 f (x,t) 在 W´I 域内连续且满足Lipschitz 条件，则 对任意的初始条件 x(x0, t0)ÎW´I， 总存在常数a>0，使得有唯一解 x=x(t, t0, x0) 在[t0-a, t0+a]上存在、对t 连续 ，且满足初始条件 x(t0)=x0。 稳定性的核心是研究解的渐近性质，即当解x(t) 在t®¥时的性状。故总假定在[t0, ¥) 上解是存在的。 x& = f (x t, ) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
定理2(解对初值的连续依赖性):在定理1的条 件下,若f(x)在域内连续且满足Libh条件, 则微分方程的解x(,1,x0)作为,1,x的函数在它 的存在范围内是连续的,即 ⅤE>0,38>0,使得当‖x(t)()<6时,有 1x(t, to, x( to)-V(t, to, u(t)<E a≤长≤b,a≤t≤b 以上定理说明:若在初始时刻x(t0(和v(0)十分接 近,则在定义域[a,b]内的解x()和v()也会十分 接近。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
定理2（解对初值的连续依赖性）：在定理1的条 件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz 条件， 则微分方程的解 x(t, t0, x0) 作为t, t0, x0的函数在它 的存在范围内是连续的, 即 "e >0, $d >0, 使得当 ‖x (t0)-y (t0)‖ <d 时,有 ‖x(t, t0, x(t0))-y (t, t0, y(t0))‖<e, a≤t≤b , a≤ t0 ≤b 以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和y (t0) 十分接 近，则在定义域[a, b]内的解x (t)和y (t) 也会十分 接近。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
§8-1李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[o.∞)满足存在和唯一性条件。 、平衡状态的稳定性 1平衡状态 考虑系统: x=f(x,t),x∈R 若随着时间t的变化,状态x=x保持不变(即恒为 常数),则称这个状态为系统的平衡状态。由于平 衡状态也是系统的一个状态,故它是上述微分方程 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
§8-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[t0, ¥)满足存在和唯一性条件。 一、平衡状态的稳定性 1.平衡状态 考虑系统： ( , ), n x& = Î f x t x R 若随着时间t 的变化，状态 x=xe保持不变（即恒为 常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平 衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn