例2：证明向量组A与B等价，其中11A:a:22a_=B: b,=0b, =b, =011证：向量组A,B等价R(A) = R(B) = R(A, B)0(111-1301-103司0(A, B) =20000010所以 R(A)=R(B)=R(A,B).故向量组A,B等价
例2：证明向量组A与B等价，其中 = = 0 1 1 , 1 1 0 : A a1 a1 − = = − = 1 2 3 , 1 2 1 , 1 0 1 : B b1 b2 b3 证：向量组A, B等价 R(A) = R(B) = R(A, B). − − = 1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 1 3 (A,B) − − 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 ~ 所以 R(A) = R(B) = R(A, B). 故向量组A, B等价
例3:设有nxm矩阵A=（ai,az，……，am），试证：n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n.证：因为n维单位坐标向量组构成的矩阵为E，，所以n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示R(A) =R(A, E) .显然R(A,E)=n,故R(A)=n
例3: 设有n×m 矩阵 A = (a1 , a2 , ., am) ，试证：n 维单 位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条 件是R(A) = n ． 证：因为n 维单位坐标向量组构成的矩阵为En ，所以 n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) . 显然 R(A, E) =n, 故 R(A)=n
小结向量b能由线性方程组R(A) = R(A,b)向量组AAx=b有解线性表示向量组B能矩阵方程组AX=BR(A)= R(A,B)由向量组A有解线性表示R(B)≤R(A)向量组A与R(A) = R(B) = R(A,B)向量组B等价
小结 R A R A b ( ) ( , ) = 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 R A R A B ( ) ( , ) = 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组 AX = B 有解 R B R A ( ) ( ) R A R B R A B ( ) ( ) ( , ) = = 向量组 A 与 向量组 B 等价
课堂练习1.把向量β表示成向量α1，α2，α的线性组合，其中110β=2,αj =,αz =,α3 =30
课堂练习 1. 把向量 b 表示成向量 a1 , a2 , a3 的线性 组合, 其中 . 1 1 1 , 0 1 1 , 1 0 1 , 3 2 1 1 2 3 = = = b = a a a
知识结构图n维向量?向量组向量组与矩阵的对应?向量组的线性组合?向量组的线性表示判定定理及必要条件向量组的等价判定定理
知识结构图 n维向量 向量组 向量组与矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价 判定定理及必要条件 判定定理