口诀：左行右列结论：若C=AB，那么口矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵：（A在左边）口矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示B为这一线性表示的系数矩阵：（B在右边）
口诀：左行右列 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为 这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为 这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边）
把P看成A~BA经过有限次初等列变换变成B是线性表示的系数矩阵存在m阶可逆矩阵P，使得AP=B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价同理可得A~B矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价
~ c A B A 经过有限次初等列变换变成 B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 ~ r A B 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 把 P 看成 是 线性表示的 系数矩阵
向量组B：bi,b...,b,能由向量组A：ai,az,.,am线性表示存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX=B有解R(A)= R(A,B) （P.84 定理2)因为 R(B)≤R(A, B)R(B)≤R(A)（P.86定理3）推论：向量组A：ai,a2…，m及B：b,b2,,b,等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B）.证明：向量组A和B等价R(A) = R(A, B)向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示R(B) = R(A, B)福从而有R(A)= R(B) =R(A, B)
向量组 B：b1 , b2 , ., bl 能由向量组 A：a1 , a2 , ., am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.86 定理3） 推论：向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． 因为 R(B) ≤ R(A, B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)
1.1例：设a,=232301证明向量b能由向量组A：ai,2,s线性表示，并求表示式。解：向量b能由ai,a2,,线性表示当且仅当R(A)=R(A,b）·0211(13101-20121(A,b)1000-因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a线性表示
例：设 证明向量 b 能由向量组 A：a1 , a2 , a3 线性表示，并求表示式． 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 0 , , , 2 1 4 3 2 3 0 1 a a a b − = = = = 解：向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ． 1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 1 ( , ) ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 r A b − − − = 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示．
向量b能由向量组A线性表示线性方程组 Ax=b有解201111310120-2-1-1(A,b) :000030003002x+3x, =2行最简形矩阵对应的方程组为X, -2x, =-1(3c+2)-3c+232通解为x=c故 b=(a,az,a,) 2c-122c-1C即 b= (- 3c + 2) ai + (2c - 1) az + c a3 :
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 1 ( , ) ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 r A b − − − = 行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 即 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ． 1 3 2 3 3 2 2 1 x x x x + = − = − 3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 c x c c c − − + = + − = − 向量 b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解. − − + = c c c b a a a 2 1 3 2 ( , , ) 故 1 2 3