《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性

结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应设有向量b和向量组A：1，2，dnxa +x.a,+...+x.a.(anan2(Xm)am八xm）元amaua12A2a21a122a2mb=aa,+Na,+...+a.am=b.....:N定理1an2an向量b能由线性方程组R(A) = R(A,b)向量组AAx=b线性表示有解

结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． ( ) 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , m m m m m m n n nm m x a a a x x a a a x x a x a x a a a a x a a a x                + + + = =                1 1 2 2 m m b a a a = + + + l l l 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 m m n n nm m a a a a a a b a a a l l l          =          R A R A b ( ) ( , ) = 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 定理1 设有向量 b 和向量组 A: a1， a2，.， an

定义5：设有向量组A：ai,z，am及B：b1,b2..,b若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价：问：怎么判断向量组A：,2am能由向量组B：bi,b2,...,b,线性表示?

定义5：设有向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称 向量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价． 问：怎么判断向量组 A：a1 , a2 , ., am 能由向量组 B：b1 , b2 , ., bl 线性表示？

设有向量组A：ai,az….,am及B：bi,b2….,bi，若向量组B能由向量组A线性表示，即线性表示的系数矩阵kl3(b))=(ar,az,"",am):Km

设有向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 m l m l m l l m m m b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a = + + + = + + + = + + + ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , m m m m l l m l l l k k k k k k b b b a a a k k k        =       线性表示的 系数矩阵

若Cmxn=AmxIBixn，即b.Sa2C121111111Rb21b22banC22a21a22a21C21C2n:..binbubrzbin.b21b22.. ban则(ci,C2,",c.)=(a..a...,a：：:bihbiz.-In结论：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n l l l ln b b b b b b c c c a a a b b b       =       结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵． 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 n l n n l n m m mn m m ml l l ln c c c a a a b b b c c c a a a b b b c c c a a a b b b                =               

若Cmxn=AmxIBlxn，即btbr26aatC12Cina12Cil.ba1b22banC2na21a22a21...C21C22..:::::::::.brbi2butCmnamlam2CmCm2amlbHaaa2bra21an2ani则.....:..·amlam2amlb结论：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 n l n n l n m m mn m m ml l l ln c c c a a a b b b c c c a a a b b b c c c a a a b b b                =                则 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 T T l T T l T T m l m m ml r b a a a r b a a a r b a a a                   =                   结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．