§43刚体上任一点的线速度和加速度 2、平动+转动 (1)固定基点法(C为刚体上固定基点) 线速度:w=vc+oxr 加速度:a=ac+(do/dt)xr+x(oxr) 运算公式:A×B×C=B(A·C)-(A·B)C 0×(o×r)=0(or)-02r a=ac+(do/dtxr+o(or)-O2r 对平面平行运动⊥r a=ac+do/dt)×r-02r
§4.3 刚体上任一点的线速度和加速度 2、平动+ 转动 (1) 固定基点法 ( C 为刚体上固定基点) 线速度: v = vC + ω r 加速度： a = aC + (dω/dt) r +ω(ω r ) 运算公式：A × B ×C = B (A · C ) – (A · B) C ω×(ω×r ) = ω(ω·r ) - ω2 r a = aC + (dω/dt) r + ω(ω·r ) - ω2 r 对平面平行运动 ω ⊥ r , a = aC + (dω/dt) r - ω2 r
证明:刚体角速度与参考点无关。 证:以A为参考点,角速度o A 以A为参考点,角速度o A VP=VA,+O'XAP VA,+0”×A”P vA”,=VA,+3×AA O参考原点 。VA,+0XAP=vA+03×AA”+0”XA”P →03×(AP-AA”)=03”×A”P 03×AP=0”×AP
证明：刚体角速度与参考点无关。 证: 以A’为参考点, 角速度ω’; 以A’’为参考点, 角速度ω’’。 vP = vA’+ ω’ ×A’P = vA’’+ ω’’ × A’’P ∵ vA’’ = vA’+ ω’ ×A’A’’ ∴ vA’+ω’×A’P = vA’+ω’×A’A’’+ω’’ ×A’’P → ω’ ×( A’P - A’A’’) = ω’’ × A’’P → ω’× A’’P = ω’’ × A’’P → ω’ = ω’’ O 参考原点 A’’ A’ P
(2)瞬时转轴法 ①平面平行运动 已知刚体的角速度和刚体上某一点P的线 速度v,总可过P点作一条和vp垂直的直线PQ, 并使Q点的位置满足条件: P-o P Q 取Q点为基点。 基点Q的特点: Q点是转动轴线和运动平面的交点,速度为 零,Q点的位置不固定,所以Q点称为瞬时转动 中心或瞬时转心
(2) 瞬时转轴法 ① 平面平行运动 已知刚体的角速度ω和刚体上某一点 P的线 速度vP ，总可过 P点作一条和 vP 垂直的直线PQ， 并使 Q 点的位置满足条件： vP = ω rPQ 取Q 点为基点。 基点Q 的特点： Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为 零，Q点的位置不固定，所以Q点称为瞬时转动 中心或瞬时转心
确定瞬时转心的方法 (1)刚体上瞬时速度为零的 点必为瞬时转心; B (2)已知刚体上A点和B点 的速度方向,分别过A点 和B点作v和v的垂线, 其交点Q必为瞬时转心。 Q ②一般运动 也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在 刚体上找到两个速度为零的点,则此两点的连 线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴,刚 体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式
确定瞬时转心的方法 (1) 刚体上瞬时速度为零的 点必为瞬时转心； (2) 已知刚体上A 点和 B 点 的速度方向，分别过A 点 和 B 点作 vA 和 vB 的垂线， 其交点Q 必为瞬时转心。 ② 一般运动 也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在 刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连 线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚 体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。 A B Q vA vB
例1:半径为R的轮子在直线轨道上无滑滚动, 质心C的速度为常数v求轮子边缘上任一点P 的速度和加速度。 解:1、固定基点法 o×rCP P C Q
例1：半径为R 的轮子在直线轨道上无滑滚动， 质心 C 的速度为常数vo 求轮子边缘上任一点 P 的速度和加速度。 解：1、固定基点法 O yo xo C Q P vo vC vP ω rCP