《线性代数》第二章 矩终及其运算（2.4）矩阵的秩与初等变换

庄若=0,则D=D≠0也有RB2E 若A经一次初等行变换变为B,则R(A)=R(B) 又由于B也可经一次初等变换变为A, 故也有R(B)≤R(4 因此R(A)=R(B) 经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经 牛有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 设经初等列变换变为B也有R(4)=RB 上页

0, 若D ˆ r = 若A经一次初等行变换变为B，则 R(A) = R(B). 又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, D D 0, R(B) r. r 则 r =  也有  因此 R(A) = R(B). 故也有 R(B)  R(A). 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变． 设A经初等列变换变为B,也有R(A) = R(B)

设A经初等列变换变为B, 则A经初等行变换变为Br, R(4)=R(B), 王且R(4)=R(41,(B)=R(B R(4)=R(B) 王综上若A经有限次初等变换变为B(即 A~B),则R(4)=R(B) 证毕 上页

设 A经初等列变换变为B, ~ ), ( ) ( ). , ( A B R A R B A B 则 = 综上 若 经有限次初等变换变为 即 , T T 则 A 经初等行变换变为 B ( ) ( ), T T  R A = R B ( ) ( ), ( ) ( ), T T 且 R A = R A R B = R B  R(A) = R(B). 证毕

初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 32050 3-236 例4设A 求矩阵A的 2015-3 16-4-14 秩,并求A的一个最高阶非零子式 解对A作初等行变换,变成行阶价梯形矩阵: 上页

初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 秩，并求 的一个最高阶非零子式． 设 求矩阵 的 A A , A 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0             − − − − − = 解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：

32050 3-236-1 2015-3 6-4-1 16-4-14 1分>r4|3-236-1 2015-3 32059 上页

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4 1 4 r  r

3321 22 0 031 56 06 3 46U 514 → I4 1023 4 02 310 5 5 30 上

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 1 4 r r r r − 