*证只要对正项级数证明了定理的结论，对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的第一步 设级数(5)是正项级数,用S表示它的第 n 个部分和.用S m = V, + V, +L + Vm表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5)的重排, 所以每一 V,(1 f k fm) 应等于某一ui(1 f kf m).记n =max(i,i2,L imb,巡回前页后贡
前页 后页 返回 第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个 部分和. 用 表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5) 的重排, 所以每一 应等于某一 *证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收 敛级数就容易证明定理是成立的
则 对于 任何 m,都存在 n,使s mf S,由于limS,=S,所以对任何正整数m都有sf S,n??即级数(7)收敏, 且 其和 S f S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排，所以也有SfS,从而得到 S =S.这就证明了对正项级数定理成立.第二步讠证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛，则由级数(6)收敛第一步结论，可得avn 收敛,即级数(7)是绝对收效的,后贡巡回前页
前页 后页 返回 即级数(7)收敛, 且其和 由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有 , 从而得到 . 这就证明了对正项级数定 理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的. 则对于任何
第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明，收敛的正项级数重排后和不变，所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此今u, - un[u,| + u,(8), InPn22当u,30时, P, = u,3 0,q,= 0;当 u,< 0 时, p, = 0, q,=|u,|= - u, 3 0. 从而(9)O f p, tu,l,o tq, funl,(10)P, + qn =u,, P, - qn = un.后贡巡回前页
前页 后页 返回 要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令 第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先