第三章积分 微积分中的两个基本概念：微分和积分，它们都来源于实践。在第二章中我们已经学习 了导数与微分，本章我们将学习它的逆运算一一积分。 3.1原函数与不定积分 3.1.1原函数与不定积分 在第二章中我们所学的是已知一个函数，求这个函数的导数（微分）：现在是已知一个 函数的导函数，求该函数的表达式。为此，先给出下面的几个概念和结论. 1、若F'(x)=f(x)(dF(x)=f(x)dk),则称函数F(x)为函数f(x)的一个原函数. 2、函数f(x)若有一个原函数F(x),则有无穷多个原函数，即有Fx)+C的形式. 设()=f(x),Fx)=f(x),则有(F(x)-F(x)'-0. 从而有F(x)-F(x)=C,所以F(x)=F(x)+C· 即同一个函数的原函数间仅差一个常数。 3、设Fx)是fx)的一个原函数，称表示式Fx)+C为fx)的不定积分，记为 ∫f(x)k.即 「f(x)d=F(x)+C. (C为任意常数) 其中x称为积分变量，函数f(x)称为被积函数，「称为积分号，(x)k称为积分表达式 4、导数（微分）与不定积分其有如下的关系 ∫fxd'=fx: d([f(x)dx)=f(xdx: ∫fx)=fx)+C: ∫dr(x)=f)+C: 即先积分后导数为自己，先导数后积分为自己加C, 例1：(sin x)'=cosx,六cosx是函数simx的一个原函数。 ,cosx+C表示了函数sinx所有的原函数，cosx+C是snx的不定积分.即 sinxdx cosx+C
47 第三章 积分 微积分中的两个基本概念：微分和积分，它们都来源于实践. 在第二章中我们已经学习 了导数与微分，本章我们将学习它的逆运算——积分. 3．1 原函数与不定积分 3.1.1 原函数与不定积分 在第二章中我们所学的是已知一个函数，求这个函数的导数（微分）；现在是已知一个 函数的导函数，求该函数的表达式. 为此，先给出下面的几个概念和结论. 1、若 F(x) = f (x) （ dF x f x dx ( ) ( ) = ），则称函数 F(x) 为函数 f (x) 的一个原函数. 2、函数 f (x) 若有一个原函数 F(x) ，则有无穷多个原函数，即有 F x C ( ) + 的形式. 设 1 F x( ) = f (x) ， F2 (x) = f (x) ，则有 (F1 (x) − F2 (x)) = 0 . 从而有 1 2 F x F x C ( ) ( ) − = ，所以 F1 (x) = 2 F x C ( ) + . 即同一个函数的原函数间仅差一个常数. 3、设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，称表示式 F x C ( ) + 为 f (x) 的不定积分，记为 f x dx ( ) . 即 f x dx F x C ( ) = + ( ) . （ C 为任意常数） 其中 x 称为积分变量，函数 f (x) 称为被积函数, 称为积分号， f x dx ( ) 称为积分表达式. 4、导数（微分）与不定积分具有如下的关系： f (x)dx = f (x) （ ） ； d f x dx f x dx ( ) ( ) = ( ) ； f x dx f x C ( ) ( ) = + ； df x f x C ( ) ( ) = + . 即先积分后导数为自己，先导数后积分为自己加 C . 例 1 ∵ (sin x) = cos x ，∴ cos x 是函数 sin x 的一个原函数. ∴ cos x C+ 表示了函数 sin x 所有的原函数，∴ cos x C+ 是 sin x 的不定积分. 即 sin xdx = cos x C+
注：()可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确： (2)微分与积分是互逆的运算： (3)也可称F(x)+C为函数f(x)的原函数族：或称为函数f()的全体原函数。 3.1.2直接积分法 本节，我们专门学习如何求函数f(x)的不定积分[f(x)dk 显然求不定积分实质上是求一个原函数的问题，而求导与求不定积分是互逆的运算，所 以可以从导数的计算公式推出一些简单的不定积分公式。 1、不定积分的性质： 性质1.「f(x)±g(x)t=∫fx)±[g(x)k: 性质2.∫f(x)达=kfx)达. 2、不定积分的基本公式： (1)「0dk=C: c-) ojr=品r+c (4)「e'd=e'+C: ()C (6)∫cos xd=sinx+C (7)[sinxdx=-cosx+C: (8)∫sec2xdk=tanx+C: (9)[csc2x=-cotx+C: (10)[secxtanxdx=secx+C: 1 (11)[escxcotxdx=-csex+C: (3)-arctanx+C. 以上公式是由16个导数公式推导出来的，如公式(5)的推导： 由g:。两随同时积分，箱g,=。在，（先号后积 x+G-Ja,所以时=a,na+Cha=hr+C 运用性质和基本公式（有时需要作适当的变形）求得积分的方法，称为直接积分法， 例2不定积分心士宁点
48 注：(1) 可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确； (2) 微分与积分是互逆的运算； （3）也可称 F x C ( ) + 为函数 f (x) 的原函数族；或称为函数 f (x) 的全体原函数. 3.1.2 直接积分法 本节，我们专门学习如何求函数 f (x) 的不定积分 f x dx ( ) . 显然求不定积分实质上是求一个原函数的问题，而求导与求不定积分是互逆的运算，所 以可以从导数的计算公式推出一些简单的不定积分公式. 1、不定积分的性质： 性质 1. ( f (x) g(x))dx = f (x)dx g(x)dx ； 性质 2. kf x dx k f x dx ( ) ( ) = . 2、不定积分的基本公式： （1） 0 dx C = ； （2） 1 1 ( 1) 1 x dx x C + = + − + ； （3） 1 ln x x a dx a C a = + ； （4） x x e dx e C = + ； （5） 1 dx x C ln | | x = + ； （6） cos sin xdx x C = + ； （7） sin cos xdx x C = − + ； （8） 2 sec tan xdx x C = + ； （9） 2 csc cot x x C = − + ； （10） sec tan sec x xdx x C = + ； （11） csc cot csc x xdx x C = − + ； （12） 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ； （13） 2 1 arctan 1 dx x C x = + + ． 以上公式是由 16 个导数公式推导出来的，如公式（5）的推导： 由 1 (log ) ln a x x a = ，两边同时积分，得 1 (log ) ln a x dx dx x a = ，（先导后积） 1 1 1 log ln a x C dx a x + = ，所以 1 1 log ln ln a dx x a C a x = + = + ln x C. 运用性质和基本公式(有时需要作适当的变形)求得积分的方法，称为直接积分法. 例 2 求不定积分 3 2 1 1 ( ) x dx x x + +
舞限武++宁=若+nxC 4 例3∫VWW匠. 操原武=管C 例4求不定积分∫心-近+F丘+3 解原武=小-++=r-+2+3加x+C 例5求不定积分(2+e)dk. 解原式=∫(2+22e+e2=「(4+22e)+(e2)) +gc宁c 例6求不定积分∫+ x1+x) 默-小-小品4mC 例7求不定积分「sin2. 22 例9求不花积分m女 解原式=产=小2-心2h=-x-mx+C sin'xcos2x 例9求不定积分女 j2-jc-2-24mC x+1 注：（①）对被积函数要充分利用化乘除为加减的方法： (②)要熟练对被积函数使用三角公式化简的方法： 9
49 解 原式 3 2 1 1 x dx dx dx x x = + + = 4 1 ln 4 x x C x + − + . 例 3 x x x dx . 解 原式 7 15 8 8 8 15 = = + x dx x C . 例 4 求不定积分 2 3 x x x 3 dx x − + + . 解 原式 2 1 3 2 3 ( ) x x x dx x − − = − + + 1 2 3 3 2 3ln 2 = − + + + x x x x C . 例 5 求不定积分 2 (2 ) x x + e dx . 解 原式 2 2 (2 2 2 ) x x x x = + + e e dx 2 (4 2(2 ) ( ) ) x x x = + + e e dx 2 2 4 2(2 ) ( ) ln 4 ln 2 ln x x x e e C e e = + + + 2 4 2(2 ) ln 4 1 ln 2 2 x x x e e = + + +C + . 例 6 求不定积分 2 2 (1 ) (1 ) x dx x x + + . 解 原式 2 2 1 2 (1 ) x x dx x x + + = + 2 1 2 ( ) 1 dx x x = + + = + + ln 2arctan x x C . 例 7 求不定积分 2 sin 2 x dx . 解 原式 1 cos 2 x dx − = 1 1 sin 2 2 = − + x x C . 例 8 求不定积分 2 2 cos 2 sin cos x dx x x . 解 原式 2 2 2 2 cos sin sin cos x xdx x x − = 2 2 = − (csc sec ) x x dx = − − + cot tan x x C . 例 9 求不定积分 4 2 2 1 1 x x dx x − + + . 解 原式 4 2 2 2 2 2 3 1 x x x dx x + − − + = + 2 2 3 ( 2 ) 1 x dx x = − + + 1 3 2 3arctan 3 = − + + x x x C . 注：(1) 对被积函数要充分利用化乘除为加减的方法； (2) 要熟练对被积函数使用三角公式化简的方法；
(3)对被积函数要充分利用化假分式为真分式与多项式之和的方法： (④)不定积分的答案一定要且仅要加一个C. 练习思3.1 1.若f(x)的一个原函数为2x2+e,则[fx)k=? 2.若f(x)的一个原函数为x1nx,则f(x)=? 3.若∫f(x)k=tanx+cosx+C,则fx)=? 4.若f)的一个原函数为0s,则fx本=？ √x 5.若f(x)的一个原函数为xsinx,则[fx)]'=? 6.若fx)=nx,则[e2f'(e)dk=? 7.求下列不定积分 (1)[(csc'x-tan'x)dx:(2)[xx: (3)「2ed: 高 1 (⑤)[e2+dk: @e子点恤 m (8)∫cos2,k: ojm点片s2a,o4 8.已知函数f(x)的导数为3x2+1,且当x=1时，y=2,求此函数. 9.已知一条曲线在任一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且曲线过点(，3)，求曲线 方程
50 (3) 对被积函数要充分利用化假分式为真分式与多项式之和的方法； (4) 不定积分的答案一定要且仅要加一个 C . 练习题 3.1 1．若 f (x) 的一个原函数为 2 2 x x e − + ，则 f (x)dx = ？ 2．若 f (x) 的一个原函数为 3 x x ln ，则 f (x) = ？ 3．若 f x dx x x C ( ) tan cos =++ ，则 f (x) = ？ 4．若 f (x) 的一个原函数为 cos x x ，则 f (x)dx = ？ 5．若 f (x) 的一个原函数为 x x sin ，则 f x dx ( ) = ？ 6．若 f (x) = ln x ，则 ( ) x x e f e dx = ？ 7. 求下列不定积分： (1) 2 2 (csc tan ) x x dx − ； (2) x x x dx ； (3) 3 2 x x e dx ； (4) ( ) 2 2 2 2 3 1 x dx x x + + ； (5) 2 1 x e dx + ； (6) 3 2 3 1 ( 2 ) 1 x x dx x x + + − − ； (7) 2 2 2 x dx x + ； (8) dx x 2 cos 2 ； (9) 2 2 ( 1) (1 ) x dx x x − + ； (10) 2 2 1 sin cos dx x x ； (11) 2 1 cos 1 cos 2 x dx x + + ； (12) 4 2 1 x dx + x . 8. 已知函数 f (x) 的导数为 3 1 2 x + ，且当 x =1 时， y = 2 ，求此函数． 9. 已知一条曲线在任一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且曲线过点 2 ( ,3) e ，求曲线 方程．
3.2第一类型换元法 大多数的积分，不能直接利用积分公式，可考虑用变量代换法，即可求得. 设∫fx)k=F(x)+C,求f(o(x)p'(x). 作变量代换，令p(x)=t,有d=o'(x)dk,则 ∫f(ox)o'(x)d=Jf)dh=Fu)+C=F(ox》+C. 或是用“凑微分”法，即 ∫f(p(x)o'(x)dk=∫f(o(x)d(p(x)=F(o(x》+C. 例1∫(2x-1)° 解11=2-.则生血，则 默ra=动r产4c=动ex-r+c. 解2原式=22x-lyd2x-)=202x-)°+C 例2xerk. 解1令1=-x2,则dh=-2xt,则 原式=-2eh=-e+c=-2e+C 解2原式=)打edx)-)e+C 通过上述两个例子，说明了求不定积分的一种方法，即利用变量代换，使所求的积分成 为基本公式表中的形式，再利用公式得到答案，这种方法称为第一类型换元法或“凑微分” 法 当读者熟练后，一般都不写出中间变量1，而直接利用“凑微分”写出答案 例3 解限式=∫in2d0nx)=写nx+C. 4
51 3．2 第一类型换元法 大多数的积分，不能直接利用积分公式，可考虑用变量代换法，即可求得. 设 f x dx F x C ( ) ( ) = + ，求 f x x dx ( ( )) ( ) . 作变量代换，令 ( ) x t = ，有 dt x dx = ( ) ，则 f x x dx ( ( )) ( ) = = f t dt ( ) F t C F x C ( ) ( ( )) + = + . 或是用“凑微分”法，即 f x x dx ( ( )) ( ) = f x d x ( ( )) ( ( )) = + F x C ( ( )) . 例 1 9 (2 1) x dx − . 解 1 令 t x = − 2 1 ，则 1 2 t x + = ， 1 2 dx dt = ，则 原式 1 9 2 = t dt 1 10 20 = + t C 1 10 (2 1) 20 = − + x C . 解 2 原式 1 9 (2 1) (2 1) 2 = − − x d x 1 10 (2 1) 20 = − + x C . 例 2 2 x xe dx − . 解 1 令 2 t x =− ，则 dt xdx = −2 ，则 原式 1 2 t = − e dt 1 2 t = − + e C 1 2 2 x e C − = − + . 解 2 原式 2 2 1 1 2 ( ) 2 2 x x = = + e d x e C . 通过上述两个例子，说明了求不定积分的一种方法，即利用变量代换，使所求的积分成 为基本公式表中的形式，再利用公式得到答案，这种方法称为第一类型换元法或“凑微分” 法. 当读者熟练后，一般都不写出中间变量 t ，而直接利用“凑微分”写出答案. 例 3 2 ln x dx x . 解 原式 2 = ln (ln ) xd x 1 3 ln 3 = +x C . 例 4 dx x sin x