中国科学技术大学 2016-2017学年第二学期 数理方程B期末考试试卷 A卷 □B卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评阅人 得分 一、（本题10分）求方程ux+yuxy=0的一般解。 得分 二、（本题10分）求解一维半无界弦的自由振动问题： utt=9uxx,t>0,0<x<+∞， u|x=0=0, u|t=0=x,ut|t=0=2sinx,0<x<+∞. 1
•IâÆE‚åÆ 2016–2017Æc1Æœ ÍnêßBœ"££Ú A Ú B Ú K“ ò n o 8 ‘ o© © µ < © ò!( K10©) ¶êßux + yuxy = 0òÑ)" © ! ( K10©)¶)òëåÃ.ugdƒØKµ utt = 9uxx, t > 0, 0 < x < +∞, u|x=0 = 0, u|t=0 = x, ut |t=0 = 2 sin x, 0 < x < +∞. 1
得分三、（本题20分）考察一维有界弦振动问题： ut=ur+f(t,x),t>0,0<x<π， 叫z=0=0,ulx=x=0, =0=sin,4lo=sin5,0<x<元： 1.当f化，x)=0时，求出上述定解问题的解山（化，x): 2.当f化，=si血5 sinwt,.w≠k+2,k∈N时，求出上述定解问题的解u2化，)： 3.指出定解问题中方程非齐次项∫(：，x、边界条件和初始条件的物理意义。 2
© n! ( K20©) òëk.uƒØKµ utt = uxx + f(t, x), t > 0, 0 < x < π, u|x=0 = 0, ux|x=π = 0, u|t=0 = sin 3 2 x, ut |t=0 = sin x 2 , 0 < x < π. 1. f(t, x) = 0û߶—˛„½)ØK)u1(t, x)¶ 2. f(t, x) = sin x 2 sin ωt, ω 6= k + 1 2 , k ∈ Nû߶—˛„½)ØK)u2(t, x)¶ 3. ç—½)ØK•êßö‡gëf(t, x)!>.^á⁄–©^á‘nø¬" 2
得分四、（本题15分）求解定解问题： -提0+t>00<<1 叫z=o有界，z=1=0, u=0=(x),0<x<1. 得分☐五、（体题15分）求解如下泊松方程的边值问题： u十4w十u=名，2+y2+22<1, uz2+w2+2=1=0. 3
© o!( K15©)¶)½)ØKµ ∂u ∂t = 1 x ∂ ∂x x ∂u ∂x + u, t > 0, 0 < x < 1, u|x=0k., ux|x=1 = 0, u|t=0 = ϕ(x), 0 < x < 1. © !( K15©)¶)Xe—têß>äØKµ uxx + uyy + uzz = z, x2 + y 2 + z 2 < 1, u|x2+y 2+z 2=1 = 0. 3
得分六、（本题15分）设区域2={(x,)y≥x· 1.求区域2上的泊松方程狄利克雷边值问题的格林函数： 2.求解如下泊松方程的狄利克雷边值问题： △2u=0,(x,y)∈2， u(x,r)=(r). 4
© 8!( K15©)´çΩ = {(x, y)|y > x}" 1. ¶´çΩ˛—têß)|éX>äØKǺͶ 2. ¶) Xe—têß)|éX>äØKµ ∆2u = 0, (x, y) ∈ Ω, u(x, x) = ϕ(x). 4
得分七、（本题15分）考察定解问题： u=4urr+3u,-0o<x<+0o,t>0, u(0,x)=p(),-0<x<+o 1.求出上述定解问题相应的基本解： 2.当p(x)=x时，求解上述定解问题。 5
© ‘!( K15©) ½)ØKµ ut = 4uxx + 3u, −∞ < x < +∞, t > 0, u(0, x) = ϕ(x), −∞ < x < +∞. 1. ¶—˛„½)ØKÉAƒ )¶ 2. ϕ(x) = xû߶)˛„½)ØK" 5